设函数f(x)=x^(1/x),(x>1),求f(x)的最大值

设函数f(x)=x^(1/x),(x>1),求f(x)的最大值
设函数f(x)=x^(1/x),(x>1),求f(x)的最大值

设函数f(x)=x^(1/x),(x>1),求f(x)的最大值
记y=x^(1/x)
两边取对数得lny=lnx/x
同时对x求导得y`/y=(1-lnx)/x^2
所以y`=(1-lnx)y/x^2
其中y=x^(1/x).
因为x>1,所以y>1,所以10；x>e时y`<0
故y=f(x)的最大值在x=e时取到,即f(e)=e^(1/e)
此即最大值.