22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立.(1)函
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/03 05:49:18
22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立.(1)函
22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立.
(1)函数f(x)=x是否属于集合M?说明理由;
(2)设函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象与y=x的图象有公共点,证明:f(x)=ax∈M;
(3)若函数f(x)=sinkx∈M,求实数k的取值范围.
22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立.(1)函
(1)对于非零常数T,f(x+T)=x+T,Tf(x)=Tx.
因为对任意x∈R,x+T=Tx不能恒成立,所以f(x)=x不属于 M.
(2)因为函数f(x)=aˆx(a>0且a≠1)的图象与函数y=x的图象有公共点,
所以方程组:y= aˆx
y=x 有解,消去y得aˆx=x,
显然x=0不是方程aˆx=x的解,所以存在非零常数T,使aˆT=T.
于是对于f(x)=aˆx,有f(x+T)=aˆ(x+T)=aˆx·aˆT=T·aˆx=Tf(x),故f(x)=aˆx∈M.
(3)当k=0时,f(x)=0,显然f(x)=0∈M.
当k≠0时,因为f(x)=sinkx∈M,所以存在非零常数T,
对任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立,即sin(kx+kT)=Tsinkx.
因为k≠0,且x∈R,所以kx∈R,kx+kT∈R,
于是sinkx∈[-1,1],sin(kx+kT)∈[-1,1],
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx成立,只有T=±1.
当T=1时,sin(kx+k)=sinkx成立,则k=2mπ,m∈Z.
当T=-1时,sin(kx-k)=-sinkx成立,
即sin(kx-k+π)=sinkx成立,
则-k+π=2mπ,m∈Z,即k=-(2m-1)π,m∈Z.
综合得,实数k的取值范围是{k|k=mπ,m∈Z}.
(1)对于非零常数T,f(x+T)=x+T,Tf(x)=Tx.
因为对任意x∈R,x+T=Tx不能恒成立,所以f(x)=x不属于 M.
(2)因为函数f(x)=aˆx(a>0且a≠1)的图象与函数y=x的图象有公共点,
所以方程组:y= aˆx
y=x 有解,消去y得a...
全部展开
(1)对于非零常数T,f(x+T)=x+T,Tf(x)=Tx.
因为对任意x∈R,x+T=Tx不能恒成立,所以f(x)=x不属于 M.
(2)因为函数f(x)=aˆx(a>0且a≠1)的图象与函数y=x的图象有公共点,
所以方程组:y= aˆx
y=x 有解,消去y得aˆx=x,
显然x=0不是方程aˆx=x的解,所以存在非零常数T,使aˆT=T.
于是对于f(x)=aˆx,有f(x+T)=aˆ(x+T)=aˆx·aˆT=T·aˆx=Tf(x),故f(x)=aˆx∈M.
(3)当k=0时,f(x)=0,显然f(x)=0∈M.
当k≠0时,因为f(x)=sinkx∈M,所以存在非零常数T,
对任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立,即sin(kx+kT)=Tsinkx.
因为k≠0,且x∈R,所以kx∈R,kx+kT∈R,
于是sinkx∈[-1,1],sin(kx+kT)∈[-1,1],
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx成立,只有T=±1.
当T=1时,sin(kx+k)=sinkx成立,则k=2mπ,m∈Z.
当T=-1时,sin(kx-k)=-sinkx成立,
即sin(kx-k+π)=sinkx成立,
则-k+π=2mπ,m∈Z,即k=-(2m-1)π,m∈Z.
综合得,实数k的取值范围是{k|k=mπ,m∈Z}.
收起