若对任意x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),判断它的奇偶性,并说明

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 15:41:21

若对任意x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),判断它的奇偶性,并说明
若对任意x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),判断它的奇偶性,并说明

若对任意x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),判断它的奇偶性,并说明
令x=y=0
f(0+0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
令y=-x
f(x-x)=f(x)+f(-x)
f(0)=f(x)+f(-x)
0=f(x)+f(-x)
f(x)=-f(-x)
又定义域为实数集 关于原点对称
所以f(x)是奇函数

令y=0 得 f(x)=f(x)+f(0),即f(0)=0 再令x+y=0 y-=-x f(0)=f(x)+f(-x) 即
f(x)+f(-x)=0 f(x)=f(-x) 所以为奇函数