如图,在△ABC中,∠ACB=2∠ABC 求证：AB2=AC2+AC*BC

如图,在△ABC中,∠ACB=2∠ABC 求证：AB2=AC2+AC*BC
如图,在△ABC中,∠ACB=2∠ABC 求证：AB2=AC2+AC*BC

如图,在△ABC中,∠ACB=2∠ABC 求证：AB2=AC2+AC*BC
∠ACB=2∠ABC,在三角形中可知∠C=45度在三角形中以BC为底,作AD垂直于BC
由于∠C=45所以三角形ACD是等腰直角三角形所以AD=AC,AMC和角AMB使用余弦定理可以求出答案

在BC上作点M使角AMB=角ABM,则角BAM=角AMC-角ABC=角ABC,(外角和定理).
故三角形ACM和三角形AMB都是等腰三角形,BM=AM=AC=b,CM=a-b.再做AH垂直BC于H,由等腰三角形三线合一知MH=HC=(a-b)/2,即BH=b+(a-b)/2=(a+b)/2.
利用勾股定理,AB^2-BH^2 = AH^2 = AC^2-CH^2,带入既有:

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在BC上作点M使角AMB=角ABM,则角BAM=角AMC-角ABC=角ABC,(外角和定理).
故三角形ACM和三角形AMB都是等腰三角形,BM=AM=AC=b,CM=a-b.再做AH垂直BC于H,由等腰三角形三线合一知MH=HC=(a-b)/2,即BH=b+(a-b)/2=(a+b)/2.
利用勾股定理,AB^2-BH^2 = AH^2 = AC^2-CH^2,带入既有:
c^2-( (a+b)/2 )^2 = b^2 - ( (a-b)/2 )^2
化简既有:b^2 = c^2 + ab

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由BC²=AC²+AC×AB=AC（AC+AB）启发我们构建两个相似的三角形，且含有边BC、AC、AC+AB.又由已知∠A=2∠B知，构建以AB为腰的等腰三角形
延长CA到D，使AD=AB，则∠D=∠DBA
∵∠BAC是△ABD的一个外角
∴∠BAC=∠DBA+∠D=2∠D
∵∠BAC=2∠ABC
...

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由BC²=AC²+AC×AB=AC（AC+AB）启发我们构建两个相似的三角形，且含有边BC、AC、AC+AB.又由已知∠A=2∠B知，构建以AB为腰的等腰三角形
延长CA到D，使AD=AB，则∠D=∠DBA
∵∠BAC是△ABD的一个外角
∴∠BAC=∠DBA+∠D=2∠D
∵∠BAC=2∠ABC
∴∠D=∠ABC
又∵∠C=∠C
∴△ABC∽△BDC
∴AC/BC=BC/CD
∴BC²=AC×CD
∵CD=AC+AD
∴BC²=AC×（AC+AD)
AD=AB
∴BC²=AC(AC+AB)
=AC²+AC×AB

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