给定二次三项式f(x)=x²+ax+b已知方程f(f(x))=0有四个不同实根,且其中两个根的和等于-1.求证：b≤-1/4

给定二次三项式f(x)=x²+ax+b已知方程f(f(x))=0有四个不同实根,且其中两个根的和等于-1.求证：b≤-1/4
给定二次三项式f(x)=x²+ax+b已知方程f(f(x))=0有四个不同实根,且其中两个根的和等于-1.
求证：b≤-1/4

给定二次三项式f(x)=x²+ax+b已知方程f(f(x))=0有四个不同实根,且其中两个根的和等于-1.求证：b≤-1/4
证：
f[f(x)]=(x²+ax+b)²+a(x²+ax+b)+b=0
方程有4个不相等的实数根,则上面的方程有两个不相等的实数根,设为x1,x2
变为两个方程：x²+ax+b=x1 x²+ax+b=x2,这两个方程分别有两个不相等的实数根,且4个实数根均不互等.
若满足两个根的和为-1的是同一个方程,设两根分别为x1',x2',由韦达定理,得
x1'+x2'=-a=-1 a=1
f[f(x)]=0有两个不相等的实数根,判别式>0
(-a)²-4b>0 1-4b>0 b

答案是-3/2≤b<-1/4。
b=-1/4时，无法成立。
答案详见 http://wenwen.soso.com/z/q166394339.htm

如图。

f²(x)+af(x)+b=0，因方程f(f(x))=0有四个不同实根，所以△=a^2-4b>0，b方程的根为：f(x)=-a/2±√(a^2-4b)/2，即x^2+ax+b=-a/2±√(a^2-4b)/2，
x^2+ax+b+a/2±√(a^2-4b)/2=0，因方程两个根的和为-1，x1+x2=-a=-1，a=1，
x^2+x+b+1/2±√...

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f²(x)+af(x)+b=0，因方程f(f(x))=0有四个不同实根，所以△=a^2-4b>0，b方程的根为：f(x)=-a/2±√(a^2-4b)/2，即x^2+ax+b=-a/2±√(a^2-4b)/2，
x^2+ax+b+a/2±√(a^2-4b)/2=0，因方程两个根的和为-1，x1+x2=-a=-1，a=1，
x^2+x+b+1/2±√(1-4b)/2=0，因方程f(f(x))=0有四个不同实根，所以
△=1-4[b+1/2±√(1-4b)/2]>0，
±√(1-4b)>2b+1/2，1-4b>4b^2+2b+1/4或1-4b<4b^2+2b+1/4
即1-4b≠4b^2+2b+1/4，b^2+3/2b-3/16≠0，
[b+3/4+√(3)/2][b+3/4-√(3)/2]≠0，
b≠-3/4-√(3)/2，b≠-3/4+√(3)/2，因b所以b的取值范围为
b<1/4，同时b≠-3/4-√(3)/2，b≠-3/4+√(3)/2。

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