当a,b在实数范围内变化时,函数f(x)=acosx+bsinx的全体记为集合M(1)求证:当a1=a2,b1=b2不同时成立时,f1(x)=a1cosx+b1sinx和f2(x)=a2cosx+b2sinx是集合M中的两个不同元素,(其中a1,a2,b1,b2都为实数)(2)若f0
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/31 17:45:33
当a,b在实数范围内变化时,函数f(x)=acosx+bsinx的全体记为集合M(1)求证:当a1=a2,b1=b2不同时成立时,f1(x)=a1cosx+b1sinx和f2(x)=a2cosx+b2sinx是集合M中的两个不同元素,(其中a1,a2,b1,b2都为实数)(2)若f0
当a,b在实数范围内变化时,函数f(x)=acosx+bsinx的全体记为集合M
(1)求证:当a1=a2,b1=b2不同时成立时,f1(x)=a1cosx+b1sinx和f2(x)=a2cosx+b2sinx是集合M中的两个不同元素,(其中a1,a2,b1,b2都为实数)
(2)若f0(x)=a0cosx+b0sinx∈M,对任意t∈R,函数f0(x+t)的全体记为集合A,试证明A包含于M
当a,b在实数范围内变化时,函数f(x)=acosx+bsinx的全体记为集合M(1)求证:当a1=a2,b1=b2不同时成立时,f1(x)=a1cosx+b1sinx和f2(x)=a2cosx+b2sinx是集合M中的两个不同元素,(其中a1,a2,b1,b2都为实数)(2)若f0
(1)反证法.若f1(x)=f2(x),则有a1cosx+b1sinx=a2cosx+b2sinx,即(a1-a2)cosx+(b1-b2)sinx=0,由于x是变化的,则cosx=sinx不能恒成立,因此必有a1-a2=0,b1-b2=0,与已知矛盾,故原命题成立.
(2)对于任意的t,f0(x+t)=a0cos(x+t)+b0sin(x+t)=a0(cosxcost-sinxsint)+b0(sinxcost+cosxsint)=(a0cost+b0sint)cosx+(b0cost-a0sint)sint,令a0cost+b0sint=at,b0cost-a0sint=bt,则f0(x+t)=(a0cost+b0sint)cosx+(b0cost-a0sint)sint=atcosx+btsint∈M,原命题得证.