作业帮已知函数f(X)=a的x次方+（x-2)/(x+1) (a>1),求证：(1)f(x)在（-1,+∞）上为增函数.(2)方程fx没有实根第二问应该是方程fx=0没有负实根
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/02 16:32:18
已知函数f(X)=a的x次方+（x-2)/(x+1) (a>1),求证：(1)f(x)在（-1,+∞）上为增函数.(2)方程fx没有实根第二问应该是方程fx=0没有负实根
已知函数f(X)=a的x次方+（x-2)/(x+1) (a>1),求证：(1)f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
(2)方程fx没有实根
第二问应该是方程fx=0没有负实根
已知函数f(X)=a的x次方+（x-2)/(x+1) (a>1),求证：(1)f(x)在（-1,+∞）上为增函数.(2)方程fx没有实根第二问应该是方程fx=0没有负实根
f(X)=a的x次方+（x-2)/(x+1) (a>1)
=a^x+[（x+1)-3]/(x+1)
=a^x+1-3/(x+1)
a^x 是增函数
1/(x+1)在（-1,+∞）上为减函数,
所以-1/(x+1)在（-1,+∞）上为增函数
从而f(X)=a的x次方+（x-2)/(x+1) (a>1)在（-1,+∞）上为增函数
设m,n同在（-1，+∞）上且m
a>1,则a^n>a^m,a^n-a^m>0
n+1>m+1>0,则1/(m+1) >1/(n+1),3/(m+1) -3/(n+1)>0
f(n)>f(m),得证
函数求导啊，直接就出来了
对任意 -1< s < t < +∞
f(s) - f(t)
= a^s + (s-2)/(s+1) - a^t - (t-2)/(t+1)
= a^s - a^t + (s-2)/(s+1) - (t-2)/(t+1)
= a^s - a^t + {(s-2)(t+1) - (s+1)(t-2)} / {(s+1)(t+1)}
= a^s - a^t + ...
全部展开
对任意 -1< s < t < +∞
f(s) - f(t)
= a^s + (s-2)/(s+1) - a^t - (t-2)/(t+1)
= a^s - a^t + (s-2)/(s+1) - (t-2)/(t+1)
= a^s - a^t + {(s-2)(t+1) - (s+1)(t-2)} / {(s+1)(t+1)}
= a^s - a^t + {(st-2t+s-2) - (st+t-2s-2)} / {(s+1)(t+1)}
= a^s - a^t + 3(s-t) / {(s+1)(t+1)}
< 0
所以f(x)在（-1，+∞）上为增函数
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