在平面直角坐标系xoy中,已知点P是函数f(x)=e^x(x>0)图像上的动点,该图像在点P处的切线L交y轴于点NP作L的垂线交y轴于点M,设线段MN的中点纵坐标为t,则t的最大值为多少?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/31 20:11:37
在平面直角坐标系xoy中,已知点P是函数f(x)=e^x(x>0)图像上的动点,该图像在点P处的切线L交y轴于点NP作L的垂线交y轴于点M,设线段MN的中点纵坐标为t,则t的最大值为多少?
在平面直角坐标系xoy中,已知点P是函数f(x)=e^x(x>0)图像上的动点,该图像在点P处的切线L交y轴于点N
P作L的垂线交y轴于点M,设线段MN的中点纵坐标为t,则t的最大值为多少?
在平面直角坐标系xoy中,已知点P是函数f(x)=e^x(x>0)图像上的动点,该图像在点P处的切线L交y轴于点NP作L的垂线交y轴于点M,设线段MN的中点纵坐标为t,则t的最大值为多少?
解析,设p点得坐标为(a,b),那么,b=e^a
过p点的直线L的斜率为e^a,过p点垂直于L的直线的斜率为-1/(e^a)
因此,直线L方程为y-b=(x-a)*e^a.
当x=0时,y=b-a*e^a=(1-a)*e^a,故,要分两种情况,01.
①当01时,此时,N点得纵坐标为负值.故,|OM|=e^a+a/(e^a),|ON|=(a-1)*e^a,
那么,t=(|OM|-|0N|)/2=2e^a+a/(e^a)-a*e^a,
t'=e^a-a*e^a+(e^a-a*e^a)/{e^(2a)}
设切点坐标为(m,em)
∴该图象在点P处的切线l的方程为y-em=em(x-m)
令x=0,解得y=(1-m)em
过点P作l的垂线的切线方程为y-em=-e-m(x-m)
令x=0,解得y=em+me-m
∴线段MN的中点的纵坐标为t=
1/2 [(2-m)em+me-m]
令t'=0解得:m=1
当m∈(0,1)时,t'>0,...
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设切点坐标为(m,em)
∴该图象在点P处的切线l的方程为y-em=em(x-m)
令x=0,解得y=(1-m)em
过点P作l的垂线的切线方程为y-em=-e-m(x-m)
令x=0,解得y=em+me-m
∴线段MN的中点的纵坐标为t=
1/2 [(2-m)em+me-m]
令t'=0解得:m=1
当m∈(0,1)时,t'>0,当m∈(1,+∞)时,t'<0
∴当m=1时t取最大值
1/2 (e+e-1)
故答案为:
1/2(e+e-1)
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