在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB=2,若棱AB上存在点P,使得D1P垂直PC,则棱AD的长的取值范围是多少
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/02 05:40:18
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB=2,若棱AB上存在点P,使得D1P垂直PC,则棱AD的长的取值范围是多少
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB=2,若棱AB上存在点P,使得D1P垂直PC,则棱AD的长的取值范围是多少
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB=2,若棱AB上存在点P,使得D1P垂直PC,则棱AD的长的取值范围是多少
方法一:
用空间直角坐标系来进行计算:
建立空间直角坐标系,以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AA1为z轴
设AD的长度是a,则D1(0,a,2),C(2,a,0),设P(x,0,0)
因为D1P垂直PC,所以向量D1P与向量PC的数量积=x(2-x)-a2=0
即x2-2x+a2=0使得有x大于等于0小于等于2的解,就是-a2大于等于-1小于等于0,即a大于等于-1小于等于1,因为a是棱长,所以,a大于0小于等于1.
即AD的长取值范围是0到1,包括1,不包括0.
方法二:
传统法,直接使用最正常的计算方法来进行计算:
设AD的长度是a,AP的长度是x,则有(D1P)2=x2+a2+4,(CP)2=(2-x
)2+a2,(CD1)2=8,因为D1P垂直于PC,所以(D1P)2+(CP)2=(CD1)2.
下面的计算就与第一种方法一样了,可以按照上面的方法进行计算.
希望这些东西对你有用,请直接联系我,我会尽力为你解答!
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