在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB=2,若棱AB上存在点P,使得D1P垂直PC,则棱AD的长的取值范围是多少

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 12:05:40

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB=2,若棱AB上存在点P,使得D1P垂直PC,则棱AD的长的取值范围是多少
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB=2,若棱AB上存在点P,使得D1P垂直PC,则棱AD的长的取值范围是多少

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB=2,若棱AB上存在点P,使得D1P垂直PC,则棱AD的长的取值范围是多少
方法一：
用空间直角坐标系来进行计算：
建立空间直角坐标系,以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AA1为z轴
设AD的长度是a,则D1（0,a,2）,C（2,a,0）,设P（x,0,0）
因为D1P垂直PC,所以向量D1P与向量PC的数量积=x（2-x）-a2=0
即x2-2x+a2=0使得有x大于等于0小于等于2的解,就是-a2大于等于-1小于等于0,即a大于等于-1小于等于1,因为a是棱长,所以,a大于0小于等于1.
即AD的长取值范围是0到1,包括1,不包括0.
方法二：
传统法,直接使用最正常的计算方法来进行计算：
设AD的长度是a,AP的长度是x,则有（D1P）2=x2+a2+4,(CP)2=(2-x
)2+a2,（CD1）2=8,因为D1P垂直于PC,所以（D1P）2+(CP)2=（CD1）2.
下面的计算就与第一种方法一样了,可以按照上面的方法进行计算.
希望这些东西对你有用,请直接联系我,我会尽力为你解答!

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