【初三数学】已知抛物线y=ax^2+bx+c与X轴的交点是A(-1,0),B(3,0),与Y轴的交点是C.若△ABC是直角三角形,则a为多少? 求详细过程

【初三数学】已知抛物线y=ax^2+bx+c与X轴的交点是A(-1,0),B(3,0),与Y轴的交点是C.若△ABC是直角三角形,则a为多少? 求详细过程
【初三数学】已知抛物线y=ax^2+bx+c与X轴的交点是A(-1,0),B(3,0),与Y轴的交点是C.若△ABC是直角三角形,则
a为多少? 求详细过程

【初三数学】已知抛物线y=ax^2+bx+c与X轴的交点是A(-1,0),B(3,0),与Y轴的交点是C.若△ABC是直角三角形,则a为多少? 求详细过程
∵△ABC是直角三角形,且A（-1,0） B（3,0）
∴∠ACB=90°
∴∠CAB+∠CBA=90°
∵∠AOC=90°
∴∠CAB+∠OCA=90°
∴∠CBA=∠OCA
∵∠AOC=∠BOC=90°
∴△AOC∽△OCB
∴AO:OC=OC:OB
∵A(-1,0) B(3,0)
∴OA=1,OB=3
∴1:OC=OC:3
即OC²=3
_
∴OC=√3
_ _
∴C(0,√3 )或C(0,-√3 )
则c=√3或c=-√3
由于抛物线交x轴于A(-1,0) B(3,0)
故x₁=-1,x₂=3
c
∴x₁·x₂=---=-1×3=-3
a
3
∴a=- ----
c
√3 √3
∴a=- --- 或 a= ---
3 3
分割线——————————————————————————————————
Tips: 1.你也可以求出C点坐标后与A、B点坐标代入解析式,用待定系数法求出a值.
2.初三现在按说已经开始复习（我今年就是这样）,所以我直接用的相似和韦达定理.平面向量我是没学过.你若学过,似乎用楼上平面向量更简单.
3.我步骤上可能会有一定的缺憾之处,建议以老师讲的为准.
4.勾股定理对于这个问题也相当简便,只是自从学了相似,对于这个问题我便倾向于相似.
5.如果你用的教材讲到射影定理,直接用,不犹豫,相似、勾股定理都是浮云（没讲到的话大题万万不可用,否则等于你自己拟出了个定理）.
图在我百度空间相册里.

抛物线y=ax^2+bx+c与X轴的交点是A(-1,0),B(3,0),
设方程为y=a(x+1)(x-3);令x=0 y=-3a;得C(0,-3a)
AC=(1，-3a);BC=(-3,-3a),AB=(4,0)
1.当C为直角顶点，向量AC*BC=0 (或者用勾股定理），-3+9a^2=0 a=根号3/3或-根号3/3
2.当B为直角顶点，向量B...

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抛物线y=ax^2+bx+c与X轴的交点是A(-1,0),B(3,0),
设方程为y=a(x+1)(x-3);令x=0 y=-3a;得C(0,-3a)
AC=(1，-3a);BC=(-3,-3a),AB=(4,0)
1.当C为直角顶点，向量AC*BC=0 (或者用勾股定理），-3+9a^2=0 a=根号3/3或-根号3/3
2.当B为直角顶点，向量BC*AB=0 -12=0 不合题
3.当A为直角顶点，向量AC*AB=0 不合题
综上： a=根号3/3或-根号3/3

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设c的坐标为：（0，y)
则将c代入方程得：c=y
由题意可知：x=-1,x=3是方程ax^2+bx+c=0的两个根，所以，由韦达定理可知：-1+3=-b/a
（-1).3=c/a
因为△ABC是直角三角形,由勾股定理可知：1+y.y(y的平方）+y.y(y的平方）+9=16，解得c=y=正负根号3
因为（-1).3=c/a，所以a=√3/3或-√3/3...

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设c的坐标为：（0，y)
则将c代入方程得：c=y
由题意可知：x=-1,x=3是方程ax^2+bx+c=0的两个根，所以，由韦达定理可知：-1+3=-b/a
（-1).3=c/a
因为△ABC是直角三角形,由勾股定理可知：1+y.y(y的平方）+y.y(y的平方）+9=16，解得c=y=正负根号3
因为（-1).3=c/a，所以a=√3/3或-√3/3

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从A,B两点横坐标可得知-b/2a=（-1+3）/2=1；而三角形ABC为RT三角形，只可能AB边为斜边，角C为直角。设坐标轴原点为O，点C坐标为（0，y）；在直角三角形AOC中，OC^2+AO^2=AC^2；即1+y^2=AC^2 ；在直角三角形BOC中，OB^2+OC^2=BC^2；即9+y^=BC^2
综合上述式子，AC^2+BC^2=1+Y^2+9+Y^2=10+2Y^2=AB^2...

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从A,B两点横坐标可得知-b/2a=（-1+3）/2=1；而三角形ABC为RT三角形，只可能AB边为斜边，角C为直角。设坐标轴原点为O，点C坐标为（0，y）；在直角三角形AOC中，OC^2+AO^2=AC^2；即1+y^2=AC^2 ；在直角三角形BOC中，OB^2+OC^2=BC^2；即9+y^=BC^2
综合上述式子，AC^2+BC^2=1+Y^2+9+Y^2=10+2Y^2=AB^2=16；得出Y=，即C=√3或-√3；再将A,B两点坐标带入抛物线方程，得到联立方程组，即可解得a=√3/3或-√3/3

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