作业帮三角形ABC中,已知cosA+cosB+cosC=3/2,用向量证明三角形ABC是等边三角形
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/13 04:21:49
三角形ABC中,已知cosA+cosB+cosC=3/2,用向量证明三角形ABC是等边三角形
三角形ABC中,已知cosA+cosB+cosC=3/2,用向量证明三角形ABC是等边三角形
三角形ABC中,已知cosA+cosB+cosC=3/2,用向量证明三角形ABC是等边三角形
由余弦定理,（b^2+c^2-a^2)/(2bc)+(c^2+a^2-b^2)/(2ca)+(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=3/2,
去分母得,a(b^2+c^2-a^2)+b(c^2+a^2-b^2)+c(a^2+b^2-c^2)=3abc,
ab^2+ac^2+bc^2+ba^2+ca^2+cb^2-6abc=a^3+b^3+c^3-3abc,
a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2=(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/2,
∴(b+c-a)(b-c)^2+(a+c-b)(c-a)^2+(a+b-c)(a-b)^2=0,
在△ABC中,b+c-a>0,a+c-b>0,a+b-c>0,
∴a=b=c,△ABC为等边三角形.
方法二：
cosA＋cosB＋cosC
＝2cos［（A＋B）/2］cos［（A－B）/2］＋1－2［sin（C/2）］^2
＝1＋2sin（C/2）cos［（A－B）/2］－2［sin（C/2）］^2
＝1＋2sin（C/2）｛cos［（A－B）/2］－sin（C/2）｝
＝1＋2sin（C/2）｛cos［（A－B）/2］－cos［（A＋B）/2］｝
＝1＋4sin（C/2）sin（A/2）sin（B/2）
显然,在△ABC中,sin（C/2）、sin（A/2）、sin（B/2）都是正数,
∴3［sin（C/2）sin（A/2）sin（B/2）］^（1/3）≦sin（C/2）＋sin（A/2）＋sin（B/2）,
当sin（C/2）＝sin（A/2）＝sin（B/2）时,取等号.
在取等号时,sin（C/2）sin（A/2）sin（B/2）＝sin30°sin30°sin30°＝1/8.
∴cosA＋cosB＋cosC≦1＋4/8＝3/2.
由题设,cosA＋cosB＋cosC＝3/2,说明：sin（C/2）＝sin（A/2）＝sin（B/2）,
∴△ABC是等边三角形.