证明函数f(x)=x3在R为增函数.(a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2))

证明函数f(x)=x3在R为增函数.(a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2))
证明函数f(x)=x3在R为增函数.(a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2))

证明函数f(x)=x3在R为增函数.(a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2))
a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)

= (a-b)(a^2 + ab + b^2/4 + 3b^2/4)
= (a-b)[(a+b/2)^2 + 3b^2/4],
对于任何不相等的2个实数a,b, a < b.
因,(a+b/2)^2 + 3b^2/4 > 0.
因此,总有
a^3 - b^3 = (a-b)[(a+b/2)^2 + 3b^2/4] < 0,
也就是
a^3 < b^3.
所以,函数f(x)=x^3在R为增函数.