如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AC、BD相交于点O,P、Q分别在AD、BC上,且∠APB=∠CPD,∠AQB=∠CQD求证:OP=OQ.着急,今天中午12点前能做出来的,追加100悬赏!不限日期!越快越好!速度!不回答的别给我瞎答,要过
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/29 07:38:06
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AC、BD相交于点O,P、Q分别在AD、BC上,且∠APB=∠CPD,∠AQB=∠CQD求证:OP=OQ.着急,今天中午12点前能做出来的,追加100悬赏!不限日期!越快越好!速度!不回答的别给我瞎答,要过
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AC、BD相交于点O,P、Q分别在AD、BC上,且∠APB=∠CPD,∠AQB=∠CQD
求证:OP=OQ.
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如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AC、BD相交于点O,P、Q分别在AD、BC上,且∠APB=∠CPD,∠AQB=∠CQD求证:OP=OQ.着急,今天中午12点前能做出来的,追加100悬赏!不限日期!越快越好!速度!不回答的别给我瞎答,要过
有什么难的?简单的相似罢了,哪里用什么正弦定理?
好难 奥赛题的程度了 我以高中生的学力解不出
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AC、BD相交于点O,P、Q分别在AD、BC上,且∠APB=∠CPD,∠AQB=∠CQD,求证:OP=OQ
商讨与分析:若ABCD为矩形,P、Q分别在AD、BC上,且∠APB=∠CPD,∠AQB=∠CQD,满足此条件的点只有一组,即P为AD的中点,Q为BC的中点;
若ABCD为平行四边形,P、Q分别在AD、BC上,且∠APB=∠CPD,∠AQB=...
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如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AC、BD相交于点O,P、Q分别在AD、BC上,且∠APB=∠CPD,∠AQB=∠CQD,求证:OP=OQ
商讨与分析:若ABCD为矩形,P、Q分别在AD、BC上,且∠APB=∠CPD,∠AQB=∠CQD,满足此条件的点只有一组,即P为AD的中点,Q为BC的中点;
若ABCD为平行四边形,P、Q分别在AD、BC上,且∠APB=∠CPD,∠AQB=∠CQD,满足此条件的点也只有一组,此时⊿PBC为等腰三角形,PB=PC,⊿QAD也为等腰三角形QA=QD;
若AD,BC不平行,即ABCD为梯形是找不出一组这样的点,同时满足上述条件的。
当满足上述条件时,AD必须垂直∠BPC的角平分线,同时,BC必须垂直∠AQD的平分线,满足此条件,恐怕唯有矩形ABCD或平行四边形ABCD,所以,梯形不会满足此条件。
所以…
不知你的题目的出处,请核查
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这好像是2007,年左右的集训队的题,用三角函数可以算出来,比较麻烦(用斯特维尔特定理算OP^2 ??)。以前有个比较精妙的相似的方法,忘了,好多年了(可能是延长DA,CB,CP,QA,DQ,PB什么的,反正是往上延长)。应该是有条线段向上旋转,但是我忘了!!!!!!!...
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这好像是2007,年左右的集训队的题,用三角函数可以算出来,比较麻烦(用斯特维尔特定理算OP^2 ??)。以前有个比较精妙的相似的方法,忘了,好多年了(可能是延长DA,CB,CP,QA,DQ,PB什么的,反正是往上延长)。
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过O做EF平行上下底交AD,BC分别E,F连接PF,QE
得BF/FC=AE/ED=AO/OC=BO/OD=AB/CD
又有EO/CD=AO/AC =BO/BD=FO/CD得EO=FO
由正弦定理三角形DPC中
CD/CP=sinCPD/sinPDC=sinAPB/sin(180-BAP)=sinAPB/sinBAP=AB/BP
所以BP/CP=AB/C...
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过O做EF平行上下底交AD,BC分别E,F连接PF,QE
得BF/FC=AE/ED=AO/OC=BO/OD=AB/CD
又有EO/CD=AO/AC =BO/BD=FO/CD得EO=FO
由正弦定理三角形DPC中
CD/CP=sinCPD/sinPDC=sinAPB/sin(180-BAP)=sinAPB/sinBAP=AB/BP
所以BP/CP=AB/CD=BF/FC
BP/CP=BF/FC得PF是BPC角平分线(三角形角平分线性质逆定理)
BPF=CPF ∠APB=∠CPD
所以EPF=CPF+CPD=90 EPF直角三角形 OP中线
所以OP=1/2EF
同理OQ=1/2EF
故OP=OQ得证
法2
由正弦定理三角形DPC中
CD/CP=sinCPD/sinPDC=sinAPB/sin(180-BAP)=sinAPB/sinBAP=AB/BP
所以BP/CP=AB/CD
延长CP到E使PE=PB 延长PQ到F使QA=QF.连接AE,BF
BP/CP=EP/CP=AB/CD=AO/OC 故OP//AE
所以OP/AE=CO/CA=CO/(CO+AO)=CD/(CD+AB)
OP=AE*CD/(CD+AB)
易证APE全等APB AE=AB即OP=AB*CD/(CD+AB)
同理OQ=AB*CD/(CD+AB)
所以OP=OQ
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其实我跟a1287191927是一个人!!都是小号!!!
慕野清流 给的第一个方法中,用到正弦定理得到CD/CP=AB/BP 这个结论不用正弦定理也可证明: 向上延长PA至A‘,使A'B=AB,则∠BA'A=∠BAA'=∠CDP 又∠A'PB=∠CPD,所以△A'BP相似于△DCP 所以CD/CP=A'B/BP=AB/BP 于是,不用正弦定理就可以证明了 你说三角形角平分线性质超出大纲,那么不用这性质也可以证明下面的结论: BP/CP=BF/FC得PF是BPC角平分线(三角形角平分线性质逆定理) 证:如图,延长PF至P'使P'C=PC,∠CPP'=∠CP'P BF/FC=BP/CP=BP/CP' 所以△BFP相似于△CFP' ∠BPF=∠CP'F=∠CPF 即PF是BPC角平分线
1.过O做EF平行上下底交AD,BC分别E,F 得BF/FC=AE/ED=AO/OC=BO/OD=AB/CD 2.又有EO/CD=AO/AC =BO/BD=FO/CD得EO=FO 3,延长BA,CP交予M 由AM∥CD得CD/CP=MA/PM 易见PA是角平分线,得MA/PM=AB/BP 所以BP/CP=AB/CD=BF/FC BP/CP=BF/FC得PF是BPC角平分线 ∠BPF=∠CPF , ∠APB=∠CPD 所以EPF=CPF+CPD=90 所以op是直角三角形 EPF的斜边中线 所以OP=1/2EF 同理OQ=1/2EF 故OP=OQ
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如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AC、BD相交于点O,P、Q分别在AD、BC上,且∠APB=∠CPD,∠AQB=∠CQD,求证:OP=OQ
商讨与分析:若ABCD为矩形,P、Q分别在AD、BC上,且∠APB=∠CPD,∠AQB=∠CQD,满足此条件的点只有一组,即P为AD的中点,Q为BC的中点;
若ABCD为平行四边形,P、Q分别在AD、BC上,且∠APB=∠CPD,∠AQB=...
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如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AC、BD相交于点O,P、Q分别在AD、BC上,且∠APB=∠CPD,∠AQB=∠CQD,求证:OP=OQ
商讨与分析:若ABCD为矩形,P、Q分别在AD、BC上,且∠APB=∠CPD,∠AQB=∠CQD,满足此条件的点只有一组,即P为AD的中点,Q为BC的中点;
若ABCD为平行四边形,P、Q分别在AD、BC上,且∠APB=∠CPD,∠AQB=∠CQD,满足此条件的点也只有一组,此时⊿PBC为等腰三角形,PB=PC,⊿QAD也为等腰三角形QA=QD;
若AD,BC不平行,即ABCD为梯形是找不出一组这样的点,同时满足上述条件的。
当满足上述条件时,AD必须垂直∠BPC的角平分线,同时,BC必须垂直∠AQD的平分线,满足此条件,恐怕唯有矩形ABCD或平行四边形ABCD,所以,梯形不会满足此条件。
所以…
加油
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忏立纟之夕夕幺
其实本题的结论可以推广到一般的梯形,只是P点的位置不一定在AD上,也可能在DA的延长线上(不妨假定CD>AB),对于Q点也有类似的情况;我们可以联想一下几何光学里的反射定律,如果由B点发出的光线经AD反射后射向C点,反射点P的位置必然满足反射定律:入射角等于反射角,入射角和反射角是相对过P点的法线(AD的垂线)而言的,反射定律也可表述为入射光和AD的夹角等于反射光和AD的夹角,这正是本题条件。因此...
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其实本题的结论可以推广到一般的梯形,只是P点的位置不一定在AD上,也可能在DA的延长线上(不妨假定CD>AB),对于Q点也有类似的情况;我们可以联想一下几何光学里的反射定律,如果由B点发出的光线经AD反射后射向C点,反射点P的位置必然满足反射定律:入射角等于反射角,入射角和反射角是相对过P点的法线(AD的垂线)而言的,反射定律也可表述为入射光和AD的夹角等于反射光和AD的夹角,这正是本题条件。因此,对本题的条件稍加修改即可推广到一般梯形。
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作DE交BC延长线于E使得DE=DC。作CF交AD于F使得CF=CD。(图画的烂了点) ∵CF=CD ∴∠FDC=∠DFC;∠FDC=180°-∠PFC 又AB∥DC ∴∠FDC=180°-∠PAB 则∠PAB=∠PFC 而∠APB=∠CPD(已知) 所以三角形△PAB∽△PCF ∴AP/FP=AB/FC=AB/DC=AO/OC 即AP/FP=AO/OC 故PO∥FC 同理可证得QO∥DE(这里自己证,写起来很麻烦) 则PO/FC=AO/AC;QO/DE =BO/BD 又AO/AC=BO/BD ∴PO/FC=QO/DE 而FC=DC=DE 故PO=QO (*)
设两个圆圆心为O1、O2,AB,CD中点M,N,连MN,由梯形知O在MN上,连O1O2交MN于O’,由于O1M∥O2N,所以O'M/O'N=O1M/O2N=AB/CD=OM/ON,所以O=O’,因为O1O2垂直平分PQ(公共弦),所以O在O1O2上,所以OP=OQ,证毕
?
详解如下:(把字母位置调换即可)
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证明:
∵AB∥CD
∴BO=AO,AB=AQ
又∵∠APB=∠CPD,∠AQB=∠CQD
∴∠BPO=∠AQO
∴△AOQ≌△BPO
∴OP=OQ
我也是初中生,最近看到这题不会,你确定有旋转的方法可以解出来?我可以回去想想。还有什么可以提示吗???