过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P:x^2/2+y^2=1交于A、C与B、D,则四边形ABCD面积最小值为答案为8/3

过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P:x^2/2+y^2=1交于A、C与B、D,则四边形ABCD面积最小值为答案为8/3
过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P:x^2/2+y^2=1交于A、C与B、D,则四边形ABCD面积最小值为
答案为8/3

过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P:x^2/2+y^2=1交于A、C与B、D,则四边形ABCD面积最小值为答案为8/3
设过原点的垂直直线方程是y=kx,y=-(1/k)x,将y=kx代入椭圆方程得
x²/2+(kx)²=1
[(1/2)+k²]x²=1
x=±1/√[(1/2)+k²]
不妨设A点在第一象限,它的坐标为,xA=1/√[(1/2)+k²],yA=kxA=k/√[(1/2)+k²]
AO²=(xA)²+(yA)²=(1+k²)/[(1/2)+k²]
同样的过程,将k换成(-1/k),得到
BO²=[1+(-1/k)²]/[(1/2)+(-1/k)²]=[1+(1/k²)]/[(1/2)+(1/k²)]
四边形ABCD的对角线AC,BD相互垂直
面积S=(1/2)*AC*BD=(1/2)*(2*AO)*(2*BO)=2*AO*BO
S²=4*AO²*BO²=[1+1+k²+(1/k²)]/[(1/4)+1+(k²/2)+(1/2k²)]
令T=k²+(1/k²),则
S²=(2+T)/[(5/4)+(T/2)]=4(2+T)/(5+2T)=2-[2/(5+2T)]
S²随T的增大而增大,T=k²+(1/k²),当k=±1时,T取最小值2,S²取最小值,S取最小值
S²=(2+2)/[(5/4)+(2/2)]=4/(9/4)=16/9
S=4/3
四边形ABCD的最小值是4/3

no pa!