函数f(x)=sinπx+cosπx+|sinπx-cosπx|对任意的x属于R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x2-x1|的最小值是

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 18:07:10

函数f(x)=sinπx+cosπx+|sinπx-cosπx|对任意的x属于R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x2-x1|的最小值是
函数f(x)=sinπx+cosπx+|sinπx-cosπx|对任意的x属于R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x2-x1|的最小值是

函数f(x)=sinπx+cosπx+|sinπx-cosπx|对任意的x属于R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x2-x1|的最小值是
由题意,f(x)=2sinπx,sinπx>cosπx 或2cosπx ,sinπx≤cosπx
对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,所以f(x1)是最小值,f(x2)是最大值
|x2-x1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值
由于x=1/2 时,
函数取得最大值2,
x=5/4 时,
sinπx=cosπx=-根号2/2 ,函数取得最小值
∴|x2-x1|的最小值为5/4-1/2 =3/4

答案应该是0.75.

f(x)是一个分段函数。取其一个周期讨论:

  1. 当0.25<x<1.25时.f(x)=2sinπx.

  2. 当0<x<0.25及1.25<x<2时.f(x)=2cosπx

通过画图可知:当x=0,0.25,2这三个点时f(x)取最大值为2.

当x=1.25时f(x)取最小值为负的根号2。

所以,∴|x2-x1|的最小值为2-1.25=0.75