在△ABC中,（a+b+c）(sinB+sinC-sinA)=3bsinC,并且sinA=2sinBcosC,△ABC是什么三角形?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/07 22:41:45

在△ABC中,（a+b+c）(sinB+sinC-sinA)=3bsinC,并且sinA=2sinBcosC,△ABC是什么三角形?
在△ABC中,（a+b+c）(sinB+sinC-sinA)=3bsinC,并且sinA=2sinBcosC,△ABC是什么三角形?

在△ABC中,（a+b+c）(sinB+sinC-sinA)=3bsinC,并且sinA=2sinBcosC,△ABC是什么三角形?
sinA=2sinBcosC
a=2bcosC
由a=2bcosC,所以由余弦定理有
c^2=a^2+b^2-2abcosC
又a=2bcosC,cosC=a/2b,代入上式,得
c^2=a^2+b^2-a^2
c^2=b^2
c=b
由sinA/a=sinB/b=sinC/c=D,有sinA=aD,sinB=bD,sinC=cD,（D为直径）
代入(a+b+c)(sinB+sinC-sinA)=3bsinC,得
(a+b+c)(b+c-a)=3bc
(b+c)^2-a^2=3bc
a^2=(b+c)^2-3bc
a^2=b^2+c^2-bc
由余弦定理有a^2=b^2+c^2-2bccosA
所以cosA=1/2,A=π/3
综上,a=b=c 三角形ABC是等边三角形

sinA=2sinBcosC，则sin(B＋C)=2sinBcosC，即sinBcosC＋cosBsinC=2sinBcosC，就是sinBcosC－cosBsinC=0，即sin(B－C)=0，从而B=C，即b=c。
另外，(a＋b＋c)(sinB＋sinC－sinA)=3bsinC，(a＋b＋c)(b＋c－a)=3bc，展开，得：(b＋c)²－a²=3bc，b&su...

全部展开

sinA=2sinBcosC，则sin(B＋C)=2sinBcosC，即sinBcosC＋cosBsinC=2sinBcosC，就是sinBcosC－cosBsinC=0，即sin(B－C)=0，从而B=C，即b=c。
另外，(a＋b＋c)(sinB＋sinC－sinA)=3bsinC，(a＋b＋c)(b＋c－a)=3bc，展开，得：(b＋c)²－a²=3bc，b²＋c²－a²=bc，从而cosA=[b²＋c²－a²]/(2bc)=1/2，所以B=60°，从而C=60°。此三角形为正三角形。

收起

在△ABC中,求证：a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0 在△ABC中求证（a-c cosB）/(b-c cosA)=sinB/sinA 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,试计算:a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB） 在△ABC中,若sinB=sin（A+C）/2 ,则sinB=? 在△ABC中,求证（b-c)sinA+(c-a)sinB+(a-b)sinC=0. 在△ABC中,(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=asinB,求A+B= 在△ABC中,b(2sinB+sinC)+c(2sinC+sinB)=2asinA,且sinB+sinC=1,求角A,B,C的大小 在△ABC中,b(2sinB+sinC)+c(2sinC+sinB)=2asinA,且sinB+sinC=1,求角A,B,C的大小 在△ABC中,计算a(SinB-SinC)+b(SinC-SinA)÷c(SinA-SinB)的值 在三角形ABC中求证：a（sinB-sinC）+b（sinC-sinA）+c（sinA-sinB）=0 在三角形ABC中 a（sinB-sinC）+b（sinC-sinA）+c（sinA-sinB）的值 在三角形ABC中 a(sinB-sinC)+b(sinC+sinA)+c(sinA-sinB) 的值 在三角形ABC中,计算a(sinB-sinC)+b(sianC-sinA)+c(sinA-sinB)的值 在△ABC中,2∠B=∠A+∠C,则sinB+tanB等于 在△ABC中,sinA：sinB：sinC＝2：3：4则a：b：c等于 在△ABC中,a:b:c=1:5:6,则sinA:sinB:sinC等于? 一道数学题：已知在△ABC中,sinA（sinB﹢cosB）—sinC=0,sinB+cos2C=0,求角A,B,C的大小? 已知在△ABC中,sinA(sinB+sinB)-sinC=0,sinB+sin2C=0,求角A、B、C的大小