如图,在梯形ABCD中,AB‖CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5,点M、N分别在边AD、BC上运动,并保持MN‖AB.ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为E、F.(1)求梯形ABCD的面积;(2)求四边形MEFN的面积的最大值;(3)试判断四边形MEFN
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/04 23:03:58
如图,在梯形ABCD中,AB‖CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5,点M、N分别在边AD、BC上运动,并保持MN‖AB.ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为E、F.(1)求梯形ABCD的面积;(2)求四边形MEFN的面积的最大值;(3)试判断四边形MEFN
如图,在梯形ABCD中,AB‖CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5,点M、N分别在边AD、BC上运动,并保持MN‖AB.ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为E、F.
(1)求梯形ABCD的面积;
(2)求四边形MEFN的面积的最大值;
(3)试判断四边形MEFN能否为正方形,若能,求出四正方形MEFN的面积;若不能,请说明理由.
如图,在梯形ABCD中,AB‖CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5,点M、N分别在边AD、BC上运动,并保持MN‖AB.ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为E、F.(1)求梯形ABCD的面积;(2)求四边形MEFN的面积的最大值;(3)试判断四边形MEFN
(1)分别过D,C两点作DG⊥AB于点G,CH⊥AB于点H.
∵ AB‖CD,
∴ DG=CH,DG‖CH
∴ 四边形DGHC为矩形,GH=CD=1
∵ DG=CH,AD=BC,∠AGD=∠BHC=90°
∴ △AGD≌△BHC(HL).
∴ AG=BH=(AB-GH)/2=(7-1)/2=3
∵ 在Rt△AGD中,AG=3,AD=5
∴ DG=4.
∴ SABCD=(1+7)*4/2=16
(2)
∵ MN‖AB,ME⊥AB,NF⊥AB
∴ ME=NF,ME‖NF
∴ 四边形MEFN为矩形
∵ AB‖CD,AD=BC
∴ ∠A=∠B
∵ ME=NF,∠MEA=∠NFB=90°
∴ △MEA≌△NFB(AAS)
∴ AE=BF.
设AE=x,则EF=7-2x
∵ ∠A=∠A,∠MEA=∠DGA=90°
∴ △MEA∽△DGA
∴AE/AG=ME/DG
∴ ME=4x/3
∴ SMEFN=ME*EF=4x/3*(7-2x)=8/3*(X-7/4)^2+49/6
当x=7/4时,ME=7/3<4,
∴四边形MEFN面积的最大值为:49/6
(3)能
由(2)可知,设AE=x,则EF=7-2x,ME=4x/3
若四边形MEFN为正方形,则ME=EF
即4x/3=7-2x.
解得 x=21/10
∴ EF=7-2x=7-2*21/10=14/5<4
∴ 四边形MEFN能为正方形,
其面积为 S正方形MEFN=(14/5)^2=196/25