四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA垂直底面ABCD,AC=二倍根号二,PA=2,E是PC上一点PE=2EC.1、证明：PC垂直平面BED2、求PD与平面PBC所成角的大小

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 14:07:27

四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA垂直底面ABCD,AC=二倍根号二,PA=2,E是PC上一点PE=2EC.1、证明：PC垂直平面BED2、求PD与平面PBC所成角的大小
四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA垂直底面ABCD,AC=二倍根号二,PA=2,E是PC上一点PE=2EC.
1、证明：PC垂直平面BED
2、求PD与平面PBC所成角的大小

四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA垂直底面ABCD,AC=二倍根号二,PA=2,E是PC上一点PE=2EC.1、证明：PC垂直平面BED2、求PD与平面PBC所成角的大小
1 取坐标系,A﹙0,0,0,﹚ B﹙200﹚D﹙020﹚ P﹙002﹚ 则E﹙4/3,4/3,2/3﹚
PC＝﹛2,2,-2﹜ BD＝﹛-2,2,0﹜ BE＝﹛-2/3,4/3,2/3﹜
平面BED的法方向n＝BD×BE＝﹛4/3,4/3,-4/3﹜
显然PC∥n ∴PC⊥平面BED.
2 PD＝﹛0,2.-2﹜平面PBC法方向n1＝﹛1,0,1﹜
PD与平面PBC所成角为α sinα＝|﹙-2﹚/﹙2√2×√2﹚|＝1/2 α＝30º

1、连结AC、BD，交于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，（正方形对角线互相垂直平分），
∵PA⊥平面ABCD，BD∈平面ABCD，
∴BD⊥平面PAC，
∵PC∈平面PAC，
∴BD⊥AC，
在平面PBC上作BE‘⊥PC，
∵AB是PB在平面ABCD上的射影，
BC⊥AB，
∴根据三垂线定理，
...

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1、连结AC、BD，交于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，（正方形对角线互相垂直平分），
∵PA⊥平面ABCD，BD∈平面ABCD，
∴BD⊥平面PAC，
∵PC∈平面PAC，
∴BD⊥AC，
在平面PBC上作BE‘⊥PC，
∵AB是PB在平面ABCD上的射影，
BC⊥AB，
∴根据三垂线定理，
BC⊥PB，
∴△BPC是RT△，
∴RT△BE’C∽RT△PBC，
BC/PC=CE’/BC，
CE'=BC^2/PC,
PA=2,AC=2√2，
∴根据勾股定理，PC=2√3，
BC=（√2/2）*AC=2，
∴CE‘=2^2/（2√3）=2√3/3=PC/3，
∴E‘和E重合，
∴BE⊥PC，
∵BD∩BE=B，
∴PC⊥平面BED。
2、用等体积法可求出D至平面PBC的距离，
∵PA⊥平面ABCD，
∴三棱锥P-BDC的高是PA，
BC=CD=AC*√2/2=2√2*√2/2=2,
S△BDC=BC*CD/2=2*2/2=2，
由前所述△PBC是RT△，
PB^2=PA^2+AB^2,
∴PB=2√2，
S△PBC=PB*BC/2=2√2*2/2=2√2，
设D至平面PBC距离为d,
VD-PBC=d*S△PBC/3=d*2√2/3，
VP-BDC=PA*S△BDC/3=2*2/3=4/3，
d*2√2/3=4/3，
∴d=√2，
根据勾股定理，
PD=√2PA=2√2，
设PD和平面PBC所成角为θ，
则sinθ=d/PD=√2/（2√2）=1/2，
∴θ=30°，
∴PD和平面PBC所成角为30度。

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取坐标系，A﹙0,0,0,﹚ B﹙200﹚D﹙020﹚ P﹙002﹚ 则E﹙4/3,4/3,2/3﹚
PC＝﹛2,2，-2﹜ BD＝﹛-2,2,0﹜ BE＝﹛-2/3,4/3,2/3﹜
平面BED的法方向n＝BD×BE＝﹛4/3,4/3,-4/3﹜
显然PC∥n ∴PC⊥平面BED.
2 PD＝﹛0,2.-2﹜平面PBC法方向n1＝﹛1,0,1﹜<...

全部展开

取坐标系，A﹙0,0,0,﹚ B﹙200﹚D﹙020﹚ P﹙002﹚ 则E﹙4/3,4/3,2/3﹚
PC＝﹛2,2，-2﹜ BD＝﹛-2,2,0﹜ BE＝﹛-2/3,4/3,2/3﹜
平面BED的法方向n＝BD×BE＝﹛4/3,4/3,-4/3﹜
显然PC∥n ∴PC⊥平面BED.
2 PD＝﹛0,2.-2﹜平面PBC法方向n1＝﹛1,0,1﹜
PD与平面PBC所成角为α sinα＝|﹙-2﹚/﹙2√2×√2﹚|＝1/2 α＝30º

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如下图,在四棱锥P-ABCD中,底面为正方 形,PC与底面ABCD垂直（图1） 该四棱锥的主视图如下图,在四棱锥P-ABCD中,底面为正方 形,PC与底面ABCD垂直（图1） 该四棱锥的主视图和侧视图,它们是腰长 为6c 在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,则四棱锥P-ABCD的体积为 棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD中投影恰好是A,则四棱锥P-ABCD体积为三视图在这里 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥平面ABCD,AB=根号3 如图在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中 求解如何求体积 四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD垂直底面ABCD 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形、面PAD⊥面ABCD,PA=PD,E为AD的中点,求证：PE垂直面ABCD 如图5,四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为平行四边形,角DAB＝60°,AB＝2AD＝2,PD＝根号3,PD⊥底面ABCD.求四棱锥P－ABCD的面积. 2.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E、F分别为CD、PB的中点. 在四棱锥P-ABCD中,PD垂直于底面ABCD,底面ABCD为正方形,M为PC的中点,PD=AB,求证PA平行平面MBD 四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形,且PD垂直于底面ABCD,N为PB中点,则三棱锥P－ANC与四棱锥P－ABCD的...四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形,且PD垂直于底面ABCD,N为PB中点,则三棱锥P－ANC与四棱锥P－ABCD的 在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,F是PB的中点, 求证:DF⊥AP; 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PD=AD,角DAB=60度,PD⊥底面ABCD,求证AC⊥PB 如图在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是菱形, 见图.在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是正方形 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,证明:PA//平面EDB 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形… 已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,E为BC中点,求证:AE⊥PD.