已知N÷2是完全平方数,N÷3是立方数.则N最小值是几?

已知N÷2是完全平方数,N÷3是立方数.则N最小值是几?
已知N÷2是完全平方数,N÷3是立方数.则N最小值是几?

已知N÷2是完全平方数,N÷3是立方数.则N最小值是几?
N÷2是完全平方数,
所以2是N的质因数
N÷3是立方数
N中至少有3个2
N÷3是立方数
所以3是N的质因数
N÷2是完全平方数
N中至少有4个3
N最小值是3^4+2^3=648

这个立方数是这个平方数的3/2，所以说这个立方数必须被3整除，进一步说明这个立方数必须可以被27整除。同理，这个平方数必须可以被64整除，所以n必须可以被128和81整除，n最小值是10368.

N能被2和3整除
所以N=2^m*3^n
要最小，则没有其他因数
因为N/2=2^(m-1)*3^n是平方数
所以m-1是偶数，n是偶数
m是奇数
N/3=2^m*3^(n-1)是立方数
所以m和n-1能被3整除
m是奇数能被3整除
所以m最小是3
n是偶数，n-1能被3整除
所以n最小是4
所以N最小...

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N能被2和3整除
所以N=2^m*3^n
要最小，则没有其他因数
因为N/2=2^(m-1)*3^n是平方数
所以m-1是偶数，n是偶数
m是奇数
N/3=2^m*3^(n-1)是立方数
所以m和n-1能被3整除
m是奇数能被3整除
所以m最小是3
n是偶数，n-1能被3整除
所以n最小是4
所以N最小=2^3*3^4=648

收起

648

N÷2是完全平方数
N÷3是立方数
(2,3)=1
所以N＝6k
6k／2＝3k是完全平方数
3｜k
6k÷3＝2k是立方数
4｜k
〔3，4〕｜k
12｜k
N＝6＊12m
＝72m
N/2＝36m
m＝tt
N/3＝24tt＝8＊3＊tt是立方数
3|t
t>=3
N/3>=8*27
=216
N>=648

648