已知A,B是椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左右顶点,P为椭圆上异于A,B的任意一点,直线PA和PB的斜率分别为kPA,kPB求证:kPAkPB=-b²/a²
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/31 23:26:05
已知A,B是椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左右顶点,P为椭圆上异于A,B的任意一点,直线PA和PB的斜率分别为kPA,kPB求证:kPAkPB=-b²/a²
已知A,B是椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左右顶点,P为椭圆上异于A,B的任意一点,直线PA和PB的斜率分别为kPA,kPB求证:kPAkPB=-b²/a²
已知A,B是椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左右顶点,P为椭圆上异于A,B的任意一点,直线PA和PB的斜率分别为kPA,kPB求证:kPAkPB=-b²/a²
证明:
椭圆:(x²/a²)+(y²/b²)=1 (a>b>0)
易知,A(-a,0),B(a,0)
可设P(acost,bsint).
由斜率公式,可得:
Kpa=(bsint)/(acost+a)
Kpb=(bsint)/(acost-a)
∴Kpa·Kpb
=[(bsint)/(acost+a)]×[(bsint)/(acost-a)]
=(b²/a²)[(sin²t)/(cos²t-1)]
=(b²/a²)[(sin²t)/(-sin²t)]
=-b²/a²
已知,A(-a,0)B(a,0)
设P(x,y)则kPA=y/(x+a)
kPB=y/(x-a)
故,kPAkPB=y2/(x2-a2)。。。。。。1
又,x²/a²+y²/b²=1。。。。。。。。2
由1,2两式化简得,kPAkPB=-b2/a2