函数f(x)在[0,1]上连续 在(0,1)内可导 且f(0)=0 证明 存在a 使得af'(a)+2f(a)=f'(a)求步骤

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/14 20:29:55

函数f(x)在[0,1]上连续 在(0,1)内可导 且f(0)=0 证明 存在a 使得af'(a)+2f(a)=f'(a)求步骤
函数f(x)在[0,1]上连续 在(0,1)内可导 且f(0)=0 证明 存在a 使得af'(a)+2f(a)=f'(a)
求步骤

函数f(x)在[0,1]上连续 在(0,1)内可导 且f(0)=0 证明 存在a 使得af'(a)+2f(a)=f'(a)求步骤
考虑函数F(x)=（x-1）^2*f(x),在[0,1]上满足罗尔定理条件,故存在一点a ,使得F'(a)=0
就得2（a-1）f(a)+(a-1)^2*f'(a)=0,化简得结论等式.

当a趋近于0时，lim左边=lim （0+2f(a)）=lim 2f(a)=2f(0)=0
lim右边=lim （f(a)-f(0)）/a-0=lim f(a)/a=lim 0/a=0
所以 左边=右边

没有仔细证明，但是感觉可能要用柯西中值定理，你试一试，有可能证出来

令g(x)=（1-x)*f'(x)反证，若不存在a满足条件，则只有g恒大于2f，或者2f恒大于g；对于前者，由于f(0)=0，则有f'(0+) 〉0，有导数定义知f在0的领域附近为正，并推出f为正，又有f更大于0，f'=2f\(1-x)大于0。。。。如此反复可以证明f在0到1之间是正数，但又g(1)=0可知，2f(1)〈0，矛盾；同理可证明后者即2f恒小于g的情况下也是不成立的。综上述可知，存在a...

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令g(x)=（1-x)*f'(x)反证，若不存在a满足条件，则只有g恒大于2f，或者2f恒大于g；对于前者，由于f(0)=0，则有f'(0+) 〉0，有导数定义知f在0的领域附近为正，并推出f为正，又有f更大于0，f'=2f\(1-x)大于0。。。。如此反复可以证明f在0到1之间是正数，但又g(1)=0可知，2f(1)〈0，矛盾；同理可证明后者即2f恒小于g的情况下也是不成立的。综上述可知，存在a∈(0,1)使得结论成立

收起

证明：函数f(x)=sin(x)/x在(0,1)上是一致连续的 设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,且0 设函数f(x)在区间[0,1]上连续,切0 设函数y=f(x)在[0,1]上连续,且0 设函数y=f(x)在[0,1]上连续,且0 高数证明题：设函数f(x)在区间[0,1]上连续,证明 高数题求解.设函数f（x）在0到1上闭区间连续,证明 设函数f(x)在（01]上连续,且极限lim->0+f(x)存在,证明函数f(x)在（0,1]上有界 若函数f(x)在【0,1】上连续,证明∫f（sinx）=∫f（cosx） 0 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(0 一道函数连续的证明题f(x)在[0,2a]上连续,f(0)=f(2a).证明 f(x)=f(x+1) 在[0,a]上至少有一个根 f(x)在(0,1)上连续,证明 一道高数题,设函数f(x)在[0,+∞)上连续,且f(x)=x(e^-x)+(e^x)∫(0,1) f(x)dx,则f(x)=?设函数f(x)在[0,+∞)上连续,且f(x)=x(e^-x)+(e^x) ∫(0,1) f(x)dx ,则f(x)= 判定函数在定义域上是否连续（说明理由）f(x)=0,若x 设函数f(x)在[0,无穷)上连续可导,且f(0)=1,|f'(x)|0时,f(x) 设正值函数f(x)在[0,1]上连续,试证:e^(∫(0→1)lnf(x)dx) 设正值函数f(x)在[0,1]上连续,试证:e^(∫(0→1)lnf(x)dx) 1.在[0,1]上求 ∫te^(t^2/2)dt2.函数f(x)连续,在[1,2]上求 ∫f(x+t)dt 的导数.