△ABC是圆O的内接正三角形,P为弧BC上一点,如果P是弧BC的中点,求证PB+PC=PA,如果P在弧BC上移动,以上结论还成立吗,理由

△ABC是圆O的内接正三角形,P为弧BC上一点,如果P是弧BC的中点,求证PB+PC=PA,如果P在弧BC上移动,以上结论还成立吗,理由
△ABC是圆O的内接正三角形,P为弧BC上一点,如果P是弧BC的中点,求证PB+PC=PA,
如果P在弧BC上移动,以上结论还成立吗,理由

△ABC是圆O的内接正三角形,P为弧BC上一点,如果P是弧BC的中点,求证PB+PC=PA,如果P在弧BC上移动,以上结论还成立吗,理由
如果P是弧BC的中点,则PA=PB,
因为∠APC=∠ABC=60°,OC=OP,
所以△OPC为正三角形,
所以PA=2OP=2PC=PB+PC.
如果P在弧BC上移动,以上结论还成立,
在PA上取一点E,使得PE=PC,
因为∠APC=∠ABC=60°,
所以△PCE为正三角形,则CE=PC,
因为∠ACB=∠PCE=60°,
所以∠ACE=∠PCB,
因为AC=CB,
所以△ACE≌△BCP,
所以AE=BP,
所以PA=PE+AE=PC+PB

证明：（1）延长BP至E，使PE=PC，
连接CE．∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC=180°，
∵∠BPC+∠EPC=180°，
∴∠BAC=∠CPE=60°，PE=PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE=PC，∠E=60°；
又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，
∴∠BCE=∠ACP，

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证明：（1）延长BP至E，使PE=PC，
连接CE．∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC=180°，
∵∠BPC+∠EPC=180°，
∴∠BAC=∠CPE=60°，PE=PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE=PC，∠E=60°；
又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，
∴∠BCE=∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE=PC，AC=BC，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA=BE=PB+PC．（2分）
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3，
又∵∠APB=45°，
∴BP=BE，∴PE=
2PB；
又∵AB=BC，
∴△ABE≌△CBP，
∴PC=AE．
∴PA=AE+PE=PC+
2PB．（4分）
（3）答：PA=PC+
3PB；
证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ=PC，
连接BQ，∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，
∴△ABQ≌△CBP，
∴BQ=BP．
∴MP=QM，
又∵∠APB=30°，
∴cos30°=PMBP，
∴PM=32PB，
∴PQ=
3PB
∴PA=PQ+AQ=
3PB+PC（7分）

收起

如果P是弧BC的中点，则PA=PB，
因为∠APC=∠ABC=60°，OC=OP，
所以△OPC为正三角形，
所以PA=2OP=2PC=PB+PC。
如果P在弧BC上移动，以上结论还成立，（截长或者补短，补短自己做个图证明一下）
在PA上取一点E，使得PE=PC，
因为∠APC=∠ABC=60°，
所以△PCE为正三角形，则CE=PC，

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如果P是弧BC的中点，则PA=PB，
因为∠APC=∠ABC=60°，OC=OP，
所以△OPC为正三角形，
所以PA=2OP=2PC=PB+PC。
如果P在弧BC上移动，以上结论还成立，（截长或者补短，补短自己做个图证明一下）
在PA上取一点E，使得PE=PC，
因为∠APC=∠ABC=60°，
所以△PCE为正三角形，则CE=PC，
因为∠ACB=∠PCE=60°，
所以∠ACE=∠PCB，
因为AC=CB，
所以△ACE≌△BCP，
所以AE=BP，
所以PA=PE+AE=PC+PB

收起

延长BP至E，使PE=PC，
连接CE．∵∠BAC=∠CPE=60°，
∴∠CPE=60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE=PC，∠E=∠3=60°；
又∵∠EBC=∠PAC，
∴△BEC≌△APC，
∴PA=BE=PB+PC．