设z为虚数,z+1/z是实数,求证z-1/z+1为纯虚数要详细答案

设z为虚数,z+1/z是实数,求证z-1/z+1为纯虚数要详细答案
设z为虚数,z+1/z是实数,求证z-1/z+1为纯虚数
要详细答案

设z为虚数,z+1/z是实数,求证z-1/z+1为纯虚数要详细答案
设 z = a+bi;
z+1/z = a+bi + 1/(a+bi);
= a+bi + (a-bi)/(a² + b²);
= a+a/(a² + b²) + ((b-b/(a² + b²))i ;
∵ z+1/z 是实数;
∴ (b-b/(a² + b²)) = 0;
∴ a²+b² = 1;
z-1/z+1 = a+bi -1/(a+bi) +1;
= a-a/(a² + b²) + ((b+b/(a² + b²))i ;
= a-a/1 + (b+b/1)i;
= 0 + 2bi;
= 2bi;
即：z-1/z+1是纯虚数