函数 导数设函数f(x)=p(x-1/x)-2lnx,g(x)=x^2.(1)设直线l与函数f(x)、g(x)的图像都相切,且与函数f(x)的图像相切与点(1,0),求实数p的值;(2)若f(x)在其定义域内为单调函数,求实数p的取值范围.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/17 07:29:23

函数 导数设函数f(x)=p(x-1/x)-2lnx,g(x)=x^2.(1)设直线l与函数f(x)、g(x)的图像都相切,且与函数f(x)的图像相切与点(1,0),求实数p的值;(2)若f(x)在其定义域内为单调函数,求实数p的取值范围.
函数 导数
设函数f(x)=p(x-1/x)-2lnx,g(x)=x^2.
(1)设直线l与函数f(x)、g(x)的图像都相切,且与函数f(x)的图像相切与点(1,0),求实数p的值;
(2)若f(x)在其定义域内为单调函数,求实数p的取值范围.
于是要解题过程0.0

函数 导数设函数f(x)=p(x-1/x)-2lnx,g(x)=x^2.(1)设直线l与函数f(x)、g(x)的图像都相切,且与函数f(x)的图像相切与点(1,0),求实数p的值;(2)若f(x)在其定义域内为单调函数,求实数p的取值范围.
g’(x)=2x,所以切线在切点(1,0)处的斜率为2
f’(x)=p(1+1/x²)-(2/x),由切线斜率为2,所以f’(1)=p(1+1/1²)-(2/1)=2,求得p=2
(2)保证分母不为0,且真数为正数,所以f(x)的定义域为x>0
f’(x)=p(1+1/x²)-(2/x) =(1/x²)(px²-2x+p)
要使f(x)在其定义域内为单调函数,只要f’(x)恒正或恒负即可.
观察f’(x)的表达式可知,只要(px²-2x+p)恒正或恒负即可.
令h(x)=px²-2x+p
当p=0时,h(x)= -2x,因为x>0,所以h(x)恒小于0,所以f(x)单调递减;
当p>0时,h(x)是一个二次函数,开口向上,对称轴为x=2/p>0,所以h(x)只能恒为正,而要使h(x)在定义域x>0上也恒为正,只有h(x)的图像全在x轴上方,即判别式△=4-4p²0解得p>1;
当p