如图,△ABC的中线,BD、CE相交于G点.猜想GB与GD的数量关系并加以证明(提示一种思路的辅助线:分别作GB,GC的中点M,N连接DE,EM,MN,ND) (2).BC边上的中线AF经过G点吗?为什么?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/29 07:06:14
如图,△ABC的中线,BD、CE相交于G点.猜想GB与GD的数量关系并加以证明(提示一种思路的辅助线:分别作GB,GC的中点M,N连接DE,EM,MN,ND) (2).BC边上的中线AF经过G点吗?为什么?
如图,△ABC的中线,BD、CE相交于G点.猜想GB与GD的数量关系并加以证明(提示一种思路的辅助线:
分别作GB,GC的中点M,N连接DE,EM,MN,ND) (2).BC边上的中线AF经过G点吗?为什么?
如图,△ABC的中线,BD、CE相交于G点.猜想GB与GD的数量关系并加以证明(提示一种思路的辅助线:分别作GB,GC的中点M,N连接DE,EM,MN,ND) (2).BC边上的中线AF经过G点吗?为什么?
第一个问题:
分别令GB、GC的中点为M、N.显然有:GM=GB/2.······①
∵M、N分别是GB、GC的中点,∴MN是△GBC的中位线,∴MN=BC/2、且MN∥BC.
∵E、D分别是AB、AC的中点,∴ED是△ABC的中位线,∴ED=BC/2、且ED∥BC.
由MN=BC/2、ED=BC/2,得:MN=ED.
由MN∥BC、ED∥BC,得:MN∥ED.
由MN∥ED、MN=ED,得:MNED是平行四边形,∴GM=GD.······②
由①、②,得:GD=GB/2.
第二个问题:
令AF交BD于H.
∵D、F分别是AC、BC的中点,∴DF是△CAB的中位线,∴DF=AB/2、且DF∥AB.
∵DF∥AB,∴HDF∽HBA,∴HD/HB=DF/AB=(AB/2)/AB=1/2,∴HD=HB/2.
由第一个问题的结论,有:GD=GB/2、又HD=HB/2,而G、H都在线段BD上,∴G、H重合,
∴AF必过点G.