计算半立方抛物线 y^2=2/3(x-1)^3被抛物线y^2=x/3 截得的一段弧的长度

计算半立方抛物线 y^2=2/3(x-1)^3被抛物线y^2=x/3 截得的一段弧的长度
计算半立方抛物线 y^2=2/3(x-1)^3被抛物线y^2=x/3 截得的一段弧的长度

计算半立方抛物线 y^2=2/3(x-1)^3被抛物线y^2=x/3 截得的一段弧的长度
联立y^2=2/3(x-1)^3和y^2=x/3得
2(x-1)^3=x
令x-1=t,得2t^3=t+1
2t^3-t-1=0
2t^3-2t+t-1=0
2t(t^2-1)+(t-1)=0
2t(t+1)(t-1)+(t-1)=0
(t-1)[2t(t+1)+1]=0
(t-1)(2t^2+2t+1)=0
得t=1（2t^2+2t+1=0无解）
故x=t+1=1+1=2,y=±√(2/3)=±√6/3
半立方抛物线y^2=2/3(x-1)^3,两边对x求导得
2y*dy/dx=2/3*3(x-1)^2=2(x-1)^2
y'=dy/dx=(x-1)^2/y
于是√(1+y'^2)=√[1+(x-1)^4/y^2]=√{1+(x-1)^4/[2/3*(x-1)^3}=√[(3x-1)/2]
则该段圆弧长度L=2∫(x:0,2)√(1+y'^2)dx
=2∫(x:1,2) √[(3x-1)/2]dx
=2*√(3/2)*∫(x:1,2) √(x-1/3)dx
=√6*2/3*(x-1/3)^(3/2)|(x;1,2)
=2(5√10-4)/9

y^2=2/3*(x-1)^3和y^2=x/3联立求解交点坐标，得：（2， sqrt(2/3)）,由于半立方抛物线在x轴以下无意义，所以，所截弧应从(1,0)到(2, sqrt(2/3)),
半立方抛物线y^2=2/3*(x-1)^3对x求导，y’=(x-1)^2/y,则弧长等于sqrt(1+y’^2)从1到2对x的定积分, sqrt(1+x’^2)= sqrt(1+(x-1)^4)/y^...

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y^2=2/3*(x-1)^3和y^2=x/3联立求解交点坐标，得：（2， sqrt(2/3)）,由于半立方抛物线在x轴以下无意义，所以，所截弧应从(1,0)到(2, sqrt(2/3)),
半立方抛物线y^2=2/3*(x-1)^3对x求导，y’=(x-1)^2/y,则弧长等于sqrt(1+y’^2)从1到2对x的定积分, sqrt(1+x’^2)= sqrt(1+(x-1)^4)/y^2)= sqrt(1+3/2*(x-1)) = sqrt(3/2*x-1/2))
∫sqrt(3/2*x-1/2))dx=4/9*(3/2*x-1/2)^(3/2)(x从1到2)=5/9*sqrt(10)-4/9

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