以初速度v垂直向上抛出一个小球 ,小球在运动过程中受到阻力f=kv,(k为常数),求小球任意时刻的速度

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/05 11:37:10

以初速度v垂直向上抛出一个小球 ,小球在运动过程中受到阻力f=kv,(k为常数),求小球任意时刻的速度
以初速度v垂直向上抛出一个小球 ,小球在运动过程中受到阻力f=kv,(k为常数),求小球任意时刻的速度

以初速度v垂直向上抛出一个小球 ,小球在运动过程中受到阻力f=kv,(k为常数),求小球任意时刻的速度
设初速度为v0,向下的加速度大小为a
am=mg+kv
a=g+kv/m
dv/dt=g+kv/m
分离变量
dv/(g+kv/m)=dt
∫dv/(g+kv/m)=∫dt
(v0-->v) (0-->t)
积分并代入上、下限
ln((g+kv/m)/(g+kv0))=kt/m
等式两边均设为e的指数,并整理,得
(g+kv/m)/(g+kv0)=e^(kt/m)
进一步整理,小球任意时刻的速度
v=e^(kt/m)（mg/k+v0)-mg/k

分析：受到的阻力是一个定值，小球上抛是受向下的重力和阻力，合外力是恒力，做匀减速运动，求任意时刻的速度就是求速度与时间的关系，再考虑速度的方向问题，首先是垂直向上，当向上的速度减为零时变为向下做初速的为零的匀加速运动，此时阻力的方向变为向上，因此此题需分两个阶段解答。
设向上为正方向，当t< v/（g+kv/m）时，由牛顿第二定律有 -mg-f=ma1 则 a1=-（mg+f）/m

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