函数f(x)=ln(x+1)-ax∧2-x,a∈R（1）求f（x）的单调区间 （2）求证：对任意的正整数n,不等式ln（n+1/n）＜1/n都成立

函数f(x)=ln(x+1)-ax∧2-x,a∈R（1）求f（x）的单调区间 （2）求证：对任意的正整数n,不等式ln（n+1/n）＜1/n都成立
函数f(x)=ln(x+1)-ax∧2-x,a∈R
（1）求f（x）的单调区间
（2）求证：对任意的正整数n,不等式ln（n+1/n）＜1/n都成立

函数f(x)=ln(x+1)-ax∧2-x,a∈R（1）求f（x）的单调区间 （2）求证：对任意的正整数n,不等式ln（n+1/n）＜1/n都成立
第一题挺简单,讨论a的范围.
∵原函数f（x）=ln（x+1）-ax²-x
∴原函数f(x)的定义域为x＞-1
且导函数g(x)=1/（x+1)－2ax－1
＝[1－2ax(x＋1)－(x＋1)]/（x+1)
＝[﹣2ax²－﹙2a＋1﹚x]/（x+1)
①当a=0时g(x)=－x/(x+1)
∴当a=0时,原函数f(x)在 (0,﹢∞）单调递减 (﹣1,0）单调递增.
②当a≠0时g(x)=[﹣2ax²－﹙2a＋1﹚x]/（x+1)
∵（x+1)＞0
∴原函数f(x)的单调性由h(x)=﹣2ax²－﹙2a＋1﹚x 决定﹙x＞﹣1﹚
Δ=[－﹙2a＋1﹚]²－4×﹙﹣2a)×0=(2a＋1)²≥0
∴x1=0,x2=-﹙2a＋1﹚/2a=-1－1/2a
下面讨论a大于或小于0的情况
第二题：
设x = 1/n,x∈(0,1]
g(x) = ln(x+1) - x
g'(x) = -x/(x+1),而g'(x)

∵原函数f（x）=ln（x+1）-ax²-x
∴原函数f(x)的定义域为x＞-1
且导函数g(x)=1/（x+1)－2ax－1
＝[1－2ax(x＋1)－(x＋1)]/（x+1)
＝[﹣2ax²－﹙2a－1...

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∵原函数f（x）=ln（x+1）-ax²-x
∴原函数f(x)的定义域为x＞-1
且导函数g(x)=1/（x+1)－2ax－1
＝[1－2ax(x＋1)－(x＋1)]/（x+1)
＝[﹣2ax²－﹙2a－1﹚x]/（x+1)
①当a=0时g(x)=x/(x+1)
∴x (﹣1，0） 0 (0，﹢∞）
g(x) － 0 ＋
f(x) ↓ ↑
∴当a=0时，原函数f(x)在(﹣1，0） 单调递减 (0，﹢∞）单调递增。
②当a≠0时g(x)=[﹣2ax²－﹙2a－1﹚x]/（x+1)
∵（x+1)＞0
∴原函数f(x)的单调性由h(x)=﹣2ax²－﹙2a－1﹚x 决定﹙x＞﹣1﹚
Δ=[－﹙2a－1﹚]²－4×﹙﹣2a)×0=(2a-1)²≥0
∴x1=0，x2=-﹙2a－1﹚/2a=-1+1/2a
③当a=½时x1=x2
所以h(x)在x＞﹣1内恒小于零，
∴当a=½时，原函数f(x)为单调递减。
④当a＜0时，x2＜﹣1
∴x (﹣1，0） 0 (0，﹢∞）
h(x) － 0 ＋
f(x) ↓ ↑
∴当a＜0时，原函数f(x)在(﹣1，0） 单调递减 (0，﹢∞）单调递增。
⑤当0＜a＜½时，x2＞0
∴x (﹣1，0） 0 (0，x2) x2 (x2，﹢∞）
h(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↓ ↑ ↓
当a0＜a＜½0时，原函数f(x)在(﹣1，0） 单调递减 (0，x2）单调递增(x2，﹢∞）单调递减
⑥ 当a＞½时x1＞x2
∴x (﹣1，x2） x2 (x2，0) 0 (0，﹢∞）
h(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↓ ↑ ↓
当a＞½时原函数f(x)在(﹣1，x2） 单调递减 (x2，0）单调递增(0，﹢∞）单调递减
∴综上所述：当a≤0时，原函数f(x)在(﹣1，0） 单调递减 (0，﹢∞）单调递增。
当a=½时，原函数f(x)为单调递减。
当a0＜a＜½0时，原函数f(x)在(﹣1，0） 单调递减 (0，x2）单调递增(x2，﹢∞）单调递减
当a＞½时原函数f(x)在(﹣1，x2） 单调递减 (x2，0）单调递增(0，﹢∞）单调递减
(2)
设x = 1/n,x∈(0,1]
g(x) = ln(x+1) - x
g'(x) = -x/(x+1),而g'(x)<0在定义域内恒成立，则g(x)在定义域内递减。
当x→0,g(x)→0,则g(x)的最大值小于0，所以g(x)<0恒成立
即ln(x+1)综上，不等式ln(n+1/n) < 1/n成立

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(1)∵原函数f（x）=ln（x+1）-ax²-x
∴原函数f(x)的定义域为x＞-1
且导函数g(x)=1/（x+1)－2ax－1
＝[1－2ax(x＋1)－(x＋1)]/（x+1)
＝[﹣2ax²－﹙2...

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(1)∵原函数f（x）=ln（x+1）-ax²-x
∴原函数f(x)的定义域为x＞-1
且导函数g(x)=1/（x+1)－2ax－1
＝[1－2ax(x＋1)－(x＋1)]/（x+1)
＝[﹣2ax²－﹙2a－1﹚x]/（x+1)
①当a=0时g(x)=x/(x+1)
∴x (﹣1，0） 0 (0，﹢∞）
g(x) － 0 ＋
f(x) ↓ ↑
∴当a=0时，原函数f(x)在(﹣1，0） 单调递减 (0，﹢∞）单调递增。
②当a≠0时g(x)=[﹣2ax²－﹙2a－1﹚x]/（x+1)
∵（x+1)＞0
∴原函数f(x)的单调性由h(x)=﹣2ax²－﹙2a－1﹚x 决定﹙x＞﹣1﹚
Δ=[－﹙2a－1﹚]²－4×﹙﹣2a)×0=(2a-1)²≥0
∴x1=0，x2=-﹙2a－1﹚/2a=-1+1/2a
③当a=½时x1=x2
所以h(x)在x＞﹣1内恒小于零，
∴当a=½时，原函数f(x)为单调递减。
④当a＜0时，x2＜﹣1
∴x (﹣1，0） 0 (0，﹢∞）
h(x) － 0 ＋
f(x) ↓ ↑
∴当a＜0时，原函数f(x)在(﹣1，0） 单调递减 (0，﹢∞）单调递增。
⑤当0＜a＜½时，x2＞0
∴x (﹣1，0） 0 (0，x2) x2 (x2，﹢∞）
h(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↓ ↑ ↓
当a0＜a＜½0时，原函数f(x)在(﹣1，0） 单调递减 (0，x2）单调递增(x2，﹢∞）单调递减
⑥ 当a＞½时x1＞x2
∴x (﹣1，x2） x2 (x2，0) 0 (0，﹢∞）
h(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↓ ↑ ↓
当a＞½时原函数f(x)在(﹣1，x2） 单调递减 (x2，0）单调递增(0，﹢∞）单调递减
∴综上所述：当a≤0时，原函数f(x)在(﹣1，0） 单调递减 (0，﹢∞）单调递增。
当a=½时，原函数f(x)为单调递减。
当a0＜a＜½0时，原函数f(x)在(﹣1，0） 单调递减 (0，x2）单调递增(x2，﹢∞）单调递减
当a＞½时原函数f(x)在(﹣1，x2） 单调递减 (x2，0）单调递增(0，﹢∞）单调递减
(2)设x = 1/n,x∈(0,1]
g(x) = ln(x+1) - x
g'(x) =
-x/(x+1),而g'(x)<0在定义域内恒成立，则g(x)在定义域内递减。
当x→0,g(x)→0,则g(x)的最大值小于0，所以g(x)<0恒成立
即ln(x+1)
这是我在静心思考后得出的结论，
如果能帮助到您，希望您不吝赐我一采纳~（满意回答）
如果不能请追问，我会尽全力帮您解决的~
答题不易，如果您有所不满愿意，请谅解~

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