已知抛物线y^2=4x的准线与双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1交于AB两点,点F为抛物线焦点 若△FAB是直角三角形,求以F为顶点,以双曲线的顶点为交代的椭圆的方程
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/03 01:18:40
已知抛物线y^2=4x的准线与双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1交于AB两点,点F为抛物线焦点 若△FAB是直角三角形,求以F为顶点,以双曲线的顶点为交代的椭圆的方程
已知抛物线y^2=4x的准线与双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1交于AB两点,点F为抛物线焦点 若△FAB是直角三角形,
求以F为顶点,以双曲线的顶点为交代的椭圆的方程
已知抛物线y^2=4x的准线与双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1交于AB两点,点F为抛物线焦点 若△FAB是直角三角形,求以F为顶点,以双曲线的顶点为交代的椭圆的方程
由抛物线y^2=4x,得:抛物线的准线方程是:x=-1,抛物线的焦点F的坐标是(1,0).
令x^2/a^2-y^2/b^2=1中的x=-1,得:1/a^2-y^2/b^2=1,∴y^2/b^2=1-1/a^2,
∴y^2=b^2-b^2/a^2,∴y=√(b^2-b^2/a^2),或y=-√(b^2-b^2/a^2).
∴A、B的坐标分别是(-1,-√(b^2-b^2/a^2))、(-1,√(b^2-b^2/a^2)).
∴向量FA=(-2,-√(b^2-b^2/a^2)),向量FB=(-2,√(b^2-b^2/a^2)).
∵△FAB是Rt△,显然有:FA=FB,∴FA⊥FB,∴向量FA·向量FB=0,
∴4-(b^2-b^2/a^2)=0,∴b^2-b^2/a^2=4.
∵e=c/a,∴e^2=c^2/a^2,∴c^2=(ae)^2,∴a^2-b^2=(ae)^2,
∴b^2=a^2-(ae)^2,∴a^2-(ae)^2-[a^2-(ae)^2]/a^2=4,
∴a^2-(ae)^2-(1-e^2)=4,∴(1-e^2)a^2=5-e^2,
∴a^2=(5-e^2)/(1-e^2)>0,又e>1,∴5-e^2<0,∴e^2>5,∴e>√5.
∴满足条件的双曲线离心率的取值范围是(√5,+∞).
希望对你能有所帮助.