设m,n是一元二次方程aX2+bX+c=0(a不等于0）的两根,求代数式a(m3+n3)+b(m2+n2)+c(m+n)的值.已推出m+n=_a\b,mn=a\c

设m,n是一元二次方程aX2+bX+c=0(a不等于0）的两根,求代数式a(m3+n3)+b(m2+n2)+c(m+n)的值.已推出m+n=_a\b,mn=a\c
设m,n是一元二次方程aX2+bX+c=0(a不等于0）的两根,求代数式a(m3+n3)+b(m2+n2)+c(m+n)的值.已推出m+n=_a\b,mn=a\c

设m,n是一元二次方程aX2+bX+c=0(a不等于0）的两根,求代数式a(m3+n3)+b(m2+n2)+c(m+n)的值.已推出m+n=_a\b,mn=a\c
由韦达定理：m+n=-b/a,mn=c/a
原式=a(m+n)[(m+n)^2-3mn]+b[(m+n)^2-2mn]+c(m+n)
=a(-b/a)[(-b/a)^2-3c/a]+b[(-b/a)^2-2c/a]+c(c/a)
=(abc+ac^2)/a^2
=c(b+c)/a

a(m³+n³)+b（m²+n²）+c（m+n）
=am³+an³+bm²+bn²+cm+cn
=am³+bm²+cm+an³+bn²+cn
=m(am²+bm+c)+n(an²+bn+c)
=0

已知m,n是一元二次方程aX2+bX+c=0(a不等于0）的两根，所以m+n=-b/a,mn=c/a。m3+n3=（m+n）（m2+n2-mn）,因为m2+n2=（m+n）²-2mn,所以将m+n=-b/a,mn=c/a带进去就可以了。