在四边形ABCD中,CD||AB,AD=BC,对角线AC,BD交于点O,角ACD=60度,点P,Q,S分别为OA,BC,OD中点求证三角形SPQ是等边三角形
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/31 19:56:04
在四边形ABCD中,CD||AB,AD=BC,对角线AC,BD交于点O,角ACD=60度,点P,Q,S分别为OA,BC,OD中点求证三角形SPQ是等边三角形
在四边形ABCD中,CD||AB,AD=BC,对角线AC,BD交于点O,角ACD=60度,点P,Q,S分别为OA,BC,OD中点
求证三角形SPQ是等边三角形
在四边形ABCD中,CD||AB,AD=BC,对角线AC,BD交于点O,角ACD=60度,点P,Q,S分别为OA,BC,OD中点求证三角形SPQ是等边三角形
由题知,四边形ABCD是以AB、CD为底的等腰梯形,
∠ACD=60°,容易知道,ΔOCD、ΔOAB是等边三角形
连接CS、BP,则CS⊥BD、BP⊥AC
∴P、S、B、C四点共圆,且圆心为BC中点Q
∴QP=QS=BC/2
又P、S是OA、OD中点,
∴PS∥AD
PS=AD/2=BC/2
∴QP=QS=PS=BC/2
∴ΔQPS是等边三角形
证明:连结BP、CS。
因为 CD//AB,AD=BC,
所以 四边形ABCD是等腰梯形,
所以 AC=BD,
又因为 AD=BC,CD=CD,
所以 三角形ACD全等于三角形BCD,
所以 角BDC=角ACD=60度,
所以 ...
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证明:连结BP、CS。
因为 CD//AB,AD=BC,
所以 四边形ABCD是等腰梯形,
所以 AC=BD,
又因为 AD=BC,CD=CD,
所以 三角形ACD全等于三角形BCD,
所以 角BDC=角ACD=60度,
所以 三角形OCD是等边三角形,
因为 S是OD的中点,
所以 CS垂直于OD,三角形BCS是直角三角形,
因为 Q是BC的中点,
所以 QS=BC/2,
同理: QP=BC/2 ,
因为 P、S分别是OA、OD的中点,
所以 PS=AD/2,
因为 AD=BC,
所以 QS=QP=QS,
所以 三角形SPQ是等边三角形。
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四边形有两种情况,或者平行四边形或者等腰梯形,无论是哪种情况,连接CS、BP,由于等腰梯形和平行四边形的对角线都是相等的,所以无论四边形为何种情况,结合条件AD=BC都可以知道三角形CDA与三角形DCB全等,所以角BDC=角ACD=60度,三角形OCD和OAB都是等边三角形,又因为点P,S分别为OA,OD中点,所以CS⊥BD、BP⊥AC,∴QP=QS=BC/2 (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一...
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四边形有两种情况,或者平行四边形或者等腰梯形,无论是哪种情况,连接CS、BP,由于等腰梯形和平行四边形的对角线都是相等的,所以无论四边形为何种情况,结合条件AD=BC都可以知道三角形CDA与三角形DCB全等,所以角BDC=角ACD=60度,三角形OCD和OAB都是等边三角形,又因为点P,S分别为OA,OD中点,所以CS⊥BD、BP⊥AC,∴QP=QS=BC/2 (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)又P、S是OA、OD中点, ∴PS∥AD PS=AD/2=BC/2 ∴QP=QS=PS=BC/2 ∴ΔQPS是等边三角形
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