作业帮设集合A={a|f(x)=8x^3-3ax^2+6x是(0,正无穷)上的增函数},B={y|y=5/(x+2),x∈[1,3]}则A与B交集在实数范围内的补集?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/18 00:14:46
设集合A={a|f(x)=8x^3-3ax^2+6x是(0,正无穷)上的增函数},B={y|y=5/(x+2),x∈[1,3]}则A与B交集在实数范围内的补集?
设集合A={a|f(x)=8x^3-3ax^2+6x是(0,正无穷)上的增函数},B={y|y=5/(x+2),x∈[1,3]}则
A与B交集在实数范围内的补集?
设集合A={a|f(x)=8x^3-3ax^2+6x是(0,正无穷)上的增函数},B={y|y=5/(x+2),x∈[1,3]}则A与B交集在实数范围内的补集?
根据题意B集合是很好算出来的,因为y=5/(x+2)在[1,3]上为减函数,所以y∈[1,5/3],故B=[1,5/3]；
问题关键是A集合,我们翻译一下：
f(x)=8x^3-3ax^2+6x 在(0,∞)为增函数,所以其一阶导函数f'(x)≥0在x∈(0,∞)上恒成立,即：
f'(x)=24x^2-6ax+6≥0在x∈(0,∞)上恒成立,亦即：
4x^2-ax+1≥0 在x∈(0,∞)上恒成立.
现在我们设g(x)=4x^2-ax+1,我们需要求的就是x∈(0,∞),g(x)≥0是的a的范围.
注意：g(x)是开口向上的抛物线,且与y轴交于(0,1)点.
①当对称轴x=a/8≤0,a≤0时,x∈(0,∞)时,g(x)≥0恒成立,满足；
②当对称轴x=a/8>0,a>0时,只需要Δ≤0即可满足g(x)在x∈(0,∞)上恒大于等于0,即：
a^2-16≤0,解得a∈[-4,4],而a>0,故a∈(0,4]；
综上有a∈(-∞,4],故A=(-∞,4]；故A∩B=[1,5/3],故其补集为(-∞,1)∪(5/3,∞)