若n为正整数,求证n∧5-5n³+4n能被120整除
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/27 21:42:19
若n为正整数,求证n∧5-5n³+4n能被120整除
若n为正整数,求证n∧5-5n³+4n能被120整除
若n为正整数,求证n∧5-5n³+4n能被120整除
证明:n^5-5n³+4n
=n(n^4-5n^2+4)
=n(n^2-1)(n^2-4)
=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
因为n为正整数,当n小于或等于2时,该算式的值为0,能被120整除.
当n大于2时,该算式就是5个连续的自然数相乘,由常识可知,5个连续的自然数中至少有1个1个倍数、1个2的倍数、一个3的倍数、一个4的倍数、一个5的倍数,这样他们的成绩至少是120的倍数.因此该等式是能被120整除的.
n∧5-5n³+4n=﹙n-2﹚﹙n-1﹚n﹙n+1﹚﹙n+2﹚
120=1×2×3×4×5
连续5 个整数乘积能被1×2×3×4×5整除,不用再证了吧。
原式=n(n^2-1)(n^2-4)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
因为这是五个连续的正整数,所以其中必有一个是3的倍数,一个是5的倍数
至少有两个连续偶数,两个连续偶数中必有一个为4的倍数,
所以该数是120的倍数
由于n^5-5n^3+4n
=n(n^4-5n^2+4)
=n(n^2-1)(n^2-4)
=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)
=n(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
=P(n+2,5)
又n为正整数,故n,(n-2),(n-1),n,(n+1),(n+2)为五个连续整数!
(注:五个连续整数的乘积能被5!整除,可用数学归纳...
全部展开
由于n^5-5n^3+4n
=n(n^4-5n^2+4)
=n(n^2-1)(n^2-4)
=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)
=n(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
=P(n+2,5)
又n为正整数,故n,(n-2),(n-1),n,(n+1),(n+2)为五个连续整数!
(注:五个连续整数的乘积能被5!整除,可用数学归纳法证明)
所以n^5-5n^3+4n能被5!=120整除。
收起
n∧5-5n³+4n
=n(n^4-5n^2+4)
=n(n^2-1)(n^2-4)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
当n=1时上式为0
当n=2时上式也为0
对于任意的正整数n(n>2)时,则(n-2)、(n-1)、n、(n+1)、(n+2)为5个连续正整数
他们的积能被120整除
裂项放缩