已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点B恰好是抛物线y=1/4x^2的焦点,离心率等于根号2/2直线l与椭圆C交于M,N两点(1) 求椭圆的方程(2)椭圆C的右焦点F是否可以为△BMN的垂心?若可
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/29 07:52:05
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点B恰好是抛物线y=1/4x^2的焦点,离心率等于根号2/2直线l与椭圆C交于M,N两点(1) 求椭圆的方程(2)椭圆C的右焦点F是否可以为△BMN的垂心?若可
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点B恰好是抛物线y=1/4x^2的焦点,离心率等于根号2/2
直线l与椭圆C交于M,N两点(1) 求椭圆的方程(2)椭圆C的右焦点F是否可以为△BMN的垂心?若可以,求直线方程,若不可以,请说明理由
第一问我会 请详解第二问
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点B恰好是抛物线y=1/4x^2的焦点,离心率等于根号2/2直线l与椭圆C交于M,N两点(1) 求椭圆的方程(2)椭圆C的右焦点F是否可以为△BMN的垂心?若可
第一个问题:
∵椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,∴可设椭圆的方程为:x^2/a^2+y^2/b^2=1.
由抛物线方程y=(1/4)x^2,得:x^2=4y,∴抛物线的焦点坐标是(0,1).
∵椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的一个顶点B是点(0,1),∴b=1.
∵e=c/a=√2/2,∴2c=√2a,∴2c^2=a^2,∴2(a^2-b^2)=a^2,∴a^2=2b^2=2.
∴椭圆方程是:x^2/2+y^2=1.
第二个问题:
假设存在满足条件的直线l.
由椭圆方程x^2/2+y^2=1,得:c=√(2-1)=1,∴点F的坐标是(1,0).
∴BF的斜率=(1-0)/(0-1)=-1.
∵F是△BMN的垂心,∴BF⊥MN,∴MN的斜率为1,∴可设MN的方程为:y=x+m.
联立:y=x+m、x^2/2+y^2=1,消去y,得:x^2/2+(x+m)^2=1,
∴x^2+2x^2+4mx+2m^2=1,∴3x^2+4mx+2m^2-1=0.
∵点M、N都在直线y=x+m上,∴可设点M、N的坐标分别为(p,p+m)、(q,q+m).
显然,p、q是方程3x^2+4mx+2m^2-1=0的两根,∴由韦达定理,有:
p+q=-4m/3、pq=(2m^2-1)/3.
很明显,有:
向量FM=(p-1,p+m)、向量BN=(q,q+m-1).
∵F是△BMN的垂心,∴FM⊥BN,∴向量FM·向量BN=0,
∴(p-1)q+(p+m)(q+m-1)=0,∴pq-q+pq+pm-p+qm+m^2-m=0,
∴2pq-(p+q)+m(p+q)+m^2-m=0,
∴2[(2m^2-1)/3]+4m/3-4m^2/3+m^2-m=0,
∴4m^2-4+4m-4m^2+3m^2-3m=0,∴3m^2+m-4=0,∴(3m+4)(m-1)=0,
∴m=-4/3,或m=1.
当m=1时,y=x+1过点B(0,1),∴此时△BMN不存在,∴这种情况应舍去.
∴m=-4/3.
∴满足条件的直线l的方程是:y=x-4/3,即:3x-3y-4=0.