四边形ABCD中,AB=CD,M,N分别是AD,BC的中点,MN的延长线与BA,CD的延长线分别交于点P,Q,求证：∠1=∠2

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/17 16:02:51

四边形ABCD中,AB=CD,M,N分别是AD,BC的中点,MN的延长线与BA,CD的延长线分别交于点P,Q,求证：∠1=∠2
四边形ABCD中,AB=CD,M,N分别是AD,BC的中点,MN的延长线与BA,CD的延长线分别交于点P,Q,求证：∠1=∠2

四边形ABCD中,AB=CD,M,N分别是AD,BC的中点,MN的延长线与BA,CD的延长线分别交于点P,Q,求证：∠1=∠2
连接AC,取AC的中点E,连接ME,NE.
因为N,E分别是BC,AC的中点,所以,NE平行AB,且NE=1/2AB,
所以,角ENM=角BPN.（平行线的内错角相等）
因为M,E分别是AD,AC的中点,所以,ME平行CD,且ME=1/2CD,
所以,角EMN=角CQN（平行线的同位角相等）
因为AB=CD,所以,NE=ME,所以,角ENM=角EMN,
所以,角BPN=角CQN（即：∠1=∠2）.

能画个图吗？没有图不知道哪个是∠1哪个是∠2

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连结AC，取其中点K，注意到AB与CD不平行，故K不在MN上，连结MK、NK。下面的证明希望你自己可以写出，不难的。其实我们在遇到不共线的等边的时候，往往可以考虑经过一定的手续（必要时进行一定的放缩）把它们转移到同一个三角形中进行讨论，在这个时候如果有中点或等比分点等条件，那么中位线或平行线就是常用的辅助线了
延长QN到F，使NF=PN，连接CF
∵BN=CN，∠BNP=∠CNF
∴⊿BNP≌⊿CNF（SAS）
∴BP=CF，∠BPN=∠F
在M的下方截取ME=MP，连接DE
∵AM=DM，∠PMA =∠EMD
∴⊿AMP ≌⊿DME(SAS )
∴AP=DE,∠APM=∠DEM
∴∠DEM=∠F
∴DE//CF
在CF上截取FG=DE，连接DG
则四边形DEFG为平行四边形
∴DG//QF
∵CF-FG=BP-AP，即CG=AB
∵AB=CD
∴CG=CD
∴∠CDG=∠CGD
∵∠DQM=∠CDG
∠APM=∠F=∠CGD
∴∠APM=∠DQM

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