如图,过平行四边形ABCD的顶点A的直线交BD于点P,交CD于点Q,并交BC的延长线于点R.求证：AP²=PQ×PR

如图,过平行四边形ABCD的顶点A的直线交BD于点P,交CD于点Q,并交BC的延长线于点R.求证：AP²=PQ×PR
如图,过平行四边形ABCD的顶点A的直线交BD于点P,交CD于点Q,并交BC的延长线于点R.求证：AP²=PQ×PR

如图,过平行四边形ABCD的顶点A的直线交BD于点P,交CD于点Q,并交BC的延长线于点R.求证：AP²=PQ×PR
过P作AB的平行线
交BC于E
设BE=X,EC=Y,CR=Z
因为△RPE∽△RAB,△BPE∽△BDC
PE/AB=(Y+Z)/(X+Y+Z),PE/DC=X/(X+Y)
又AB=DC
所以(Y+Z)/(X+Y+Z)=X/(X+Y)
得X²=Y(Y+Z)
即Y/(Y+Z)=Y²/X²
Y/X=PD/PB,Y/(Y+Z)=PQ/PR
PQ:QR=PD²:PB²

∵AD∥BR
∴△APD∽△BPR
∴AP:PR=DP:PB
又AB∥QD
∴△ABP∽△DPQ
∴PQ:AP=DP:PB
∴AP:PR=PQ:AP
∴AP²=PQ×PR

看数学书

AB/DQ = AP / PQ = BP / PD; PR /AP = BR / AD = BP /PD;所以 AP / PQ = PR /AP