作业帮四面体ABCD中,AB=CD,AC=BD,AD=BC.(1)求证:四面体每个面的三角形为锐角三角形(2)设三个面与底面BCD所成的角分别为1,2,3,求证：cos1+cos2+cos3=1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 19:39:50
四面体ABCD中,AB=CD,AC=BD,AD=BC.(1)求证:四面体每个面的三角形为锐角三角形(2)设三个面与底面BCD所成的角分别为1,2,3,求证：cos1+cos2+cos3=1
四面体ABCD中,AB=CD,AC=BD,AD=BC.
(1)求证:四面体每个面的三角形为锐角三角形
(2)设三个面与底面BCD所成的角分别为1,2,3,求证：cos1+cos2+cos3=1
四面体ABCD中,AB=CD,AC=BD,AD=BC.(1)求证:四面体每个面的三角形为锐角三角形(2)设三个面与底面BCD所成的角分别为1,2,3,求证：cos1+cos2+cos3=1
如图,补成长方体.
设长方体棱长a,b,c
则AB²=CD²=a²+b²,AC²=BD²=b²+c²,AD²=BC²=a²+c²
（1）要证四面体每个面的三角形为锐角三角形,我们分析其中一个三角形的一个角x
cosx=(a²+b²+b²+c²-a²-c²)/2mn>0 (余弦定理）
所以x是锐角.所以四面体每个面的三角形为锐角三角形
（2）我们考虑面BCD与面ABD的夹角的补角,即面BCD与面MDNB的夹角加上面ABD与面MDNB的夹角.
面BCD与面MDNB的夹角的正切求得是a√(b²+c²)/(bc)
面ABD与面MDNB的夹角的正切也是a√(b²+c²)/(bc)
面BCD与面ABD的夹角的正切=2abc√(b²+c²)/(a²b²+a²c²-b²c²) （正切2倍角）
面BCD与面ABD的夹角的余弦=(a²b²+a²c²-b²c²)/(a²b²+a²c²+b²c²)=cos1
同理写出cos2,cos3,得cos1+cos2+cos3=1
也可以用向量法
比如以M为原点建系
写出四个面的方程为：
x/a+y/b+z/c=1,
-x/a+y/b+z/c=1,
x/a-y/b+z/c=1,
x/a+y/b-z/c=1,
其法向量分别为
(1/a,1/b,1/c)
(-1/a,1/b,1/c)
(1/a,-1/b,1/c)
(1/a,1/b,-1/c)
夹角余弦：
cos1=(a²b²+a²c²-b²c²)/(a²b²+a²c²+b²c²)
cos2=(a²b²+c²c²-a²c²)/(a²b²+a²c²+b²c²)
cos3=(b²c²+a²c²-a²b²)/(a²b²+a²c²+b²c²)
则cos1+cos2+cos3=1