四棱锥p-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=根号6,点E是PB中点,AD=根号三条件如题目,问题①求点D到平面PBC的距离②求ED与平面PAC所成角③求二面角A-EC-D的大小.(抱歉没法给图.)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/01 12:34:09
四棱锥p-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=根号6,点E是PB中点,AD=根号三条件如题目,问题①求点D到平面PBC的距离②求ED与平面PAC所成角③求二面角A-EC-D的大小.(抱歉没法给图.)
四棱锥p-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=根号6,点E是PB中点,AD=根号三
条件如题目,问题①求点D到平面PBC的距离②求ED与平面PAC所成角③求二面角A-EC-D的大小.
(抱歉没法给图.)
四棱锥p-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=根号6,点E是PB中点,AD=根号三条件如题目,问题①求点D到平面PBC的距离②求ED与平面PAC所成角③求二面角A-EC-D的大小.(抱歉没法给图.)
①几何法:连接AE
∵四边形ABCD为矩形
∴BC⊥AB
∵PA⊥面ABCD
∴PA⊥BC ,BC⊥面PAB,BC⊥AE
∵PA=AB=√6 (根号6),E为PB中点
∴AE⊥PB PB=2√3
∴AE⊥面PBC,点A到面PBC的距离为AE
∵AD∥BC
∴AD∥面PBC,点D到平面PBC的距离为AE=1/2 PB=√3
向量法:以A为坐标原点,AB方向为x轴正方向,AD方向为y轴正方向,AP方向为z轴正方向建立空间直角坐标系.
P:(0,0,√6 )B:(√6,0,0)C:(√6,√3,0)D:(0,√3,0)
BP向量=(-√6,0,√6)BC向量=(0,-√3,0)设法向量n=(a,b,c)
n· BP=0 得a=c
n· BC=0 得b=0 所以令n=(1,0,1)
DC向量=(√6,0,0)
点D到平面PBC的距离h=(DC向量·n)/| n |=(√6)/√2=√3
②向量法:以A为坐标原点,AB方向为x轴正方向,AD方向为y轴正方向,AP方向为z轴正方向建立空间直角坐标系.
面PAC的法向量n=(1,-√2,0)
DE向量=(√6 /2,-√3,√6 /2)
cos<n,DE>=(n· DE)/(| n || DE |)=√3 /2
所以ED与平面PAC所成角为30°
③过点E做EF⊥AB于点F,过点F做FG⊥AC于点G
∵EF⊥面ABCD,FG⊥AC
∴二面角A-EC-D的平面角为∠EGF的补角
EF=1/2 PA = √6 /2 GF=√2 /2
tan∠EGF=EF/GF=√3
∴∠EGF=60° 二面角A-EC-D的大小为180°-60°=120°