三角函数与性质已知函数f(x)=x²+a/x(x≠0,a∈R)(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)若f(x)在区间[2,+∞)是增函数,求实数a的取值范围.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/31 22:59:43
三角函数与性质已知函数f(x)=x²+a/x(x≠0,a∈R)(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)若f(x)在区间[2,+∞)是增函数,求实数a的取值范围.
三角函数与性质
已知函数f(x)=x²+a/x(x≠0,a∈R)
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)若f(x)在区间[2,+∞)是增函数,求实数a的取值范围.
三角函数与性质已知函数f(x)=x²+a/x(x≠0,a∈R)(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)若f(x)在区间[2,+∞)是增函数,求实数a的取值范围.
(1)当a=0 时,f(x) = x^2,由于 f( -x)= (-x)^2= x^2= f(x),所以f(x)是偶函数.
当a0(是不等于)时,非奇非偶函数.因为f(x)f(-x) 且 f(-x)f( x).
(2) f ' (x) = 2x - a/x^2 = ( 2x^3 -a)/ x^2
由于 f(x) 在[ 2.+∞)上增函数,所以在[ 2,+∞)上 f '(x)>=0 恒成立.
即:2x^3 -a >=0 恒成立.( 因为x^2 >0)
即 a= < 2x^3,(y= 2x^3 在[ 2,+ ∞)上增函数)
a
(1)f(-x)=(-x)²+a/(-x)=x²-a/x
如果一个函数是偶函数,则f(-x)-f(x)=0
如果一个函数是奇函数,则f(-x)+f(x)=0
∵f(-x)-f(x)=(x²-a/x)-(x²+a/x)=-2a/x,
f(-x)+f(x)=(x²-a/x)+(x²+a/x)=2x²<...
全部展开
(1)f(-x)=(-x)²+a/(-x)=x²-a/x
如果一个函数是偶函数,则f(-x)-f(x)=0
如果一个函数是奇函数,则f(-x)+f(x)=0
∵f(-x)-f(x)=(x²-a/x)-(x²+a/x)=-2a/x,
f(-x)+f(x)=(x²-a/x)+(x²+a/x)=2x²
∴当a=0时,f(-x)-f(x)=0,即f(x)是偶函数.
当a=任何值时,f(-x)+f(x)都≠0,所以f(x)不是奇函数.
∴当a=0时,f(x)是偶函数,当a≠0时,f(x)是非奇非偶函数.
2)对f(x)求导,f′(x)=2x-a/x², f′(x)≥0等价于x³≥a/2
①a<0时,∵x≧2,x递增,x²递增,a/x递增,∴f(x)递增恒成立
②a=o时,易得f(x)在x≥2上递增
③a>0时,由x³≥a/2易得,左min=2³=8,∴a/2≤8,∴a≤16
综上所述,a∈﹙﹣∞,16]
收起
(1)根据定义域可知,定义域关于x=0对称,符合奇函数和偶函数的条件①
①当a=0时,f(x)=x²,f(-x)=x²,所以f(x)=f(-x),f(x)为偶函数
②当a≠0时,f(x)=x²+a/x,f(-x)=x²-a/x,f(x)≠f(-x),f(x)既不是奇函数又不是偶函数
(2)对f(x)求导,f′(x)...
全部展开
(1)根据定义域可知,定义域关于x=0对称,符合奇函数和偶函数的条件①
①当a=0时,f(x)=x²,f(-x)=x²,所以f(x)=f(-x),f(x)为偶函数
②当a≠0时,f(x)=x²+a/x,f(-x)=x²-a/x,f(x)≠f(-x),f(x)既不是奇函数又不是偶函数
(2)对f(x)求导,f′(x)=2x-a/x², f′(x)≥0等价于x³≥a/2
①a<0时,∵x≧2,x递增,x²递增,a/x递增,∴f(x)递增恒成立
②a=o时,易得f(x)在x≥2上递增
③a>0时,由x³≥a/2易得,左min=2³=8,∴a/2≤8,∴a≤16
综上所述,a∈﹙﹣∞,16]
收起
a=0,为偶 a<>0,非奇非偶,要保持函数在>=2为增,只需其导数为正就可以了。
f(x)^>=0,求得X<=16