已知数列an 前n项和为sn.sn=2-2an求证an为等比数列an通向公式an*sn的前n项和tn
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/29 07:03:41
已知数列an 前n项和为sn.sn=2-2an求证an为等比数列an通向公式an*sn的前n项和tn
已知数列an 前n项和为sn.sn=2-2an
求证an为等比数列
an通向公式
an*sn的前n项和tn
已知数列an 前n项和为sn.sn=2-2an求证an为等比数列an通向公式an*sn的前n项和tn
Sn=2-2an
则
S(n-1)=2-2a(n-1)
两式相减,
Sn-S(n-1)=2a(n-1)-2an
而Sn-S(n-1)=an
所以
an=2a(n-1)-2an
即an=2/3a(n-1)
所以an为以a1为首项,2/3为公比的等比数列
且首项为
S1=a1=2-a1
a1=1
则通项为an=(2/3)^(n-1)
Sn=(1-(2/3)^n)/(1-2/3)=3*(1-(2/3)^n)
所以,
an*Sn=(2/3)^(n-1)*3*(1-(2/3)^n)
=3*(2/3)^(n-1)-3*(2/3)^(2n-1)
=3*(2/3)^(n-1)-3*(2/3)(2/3)^(2n-2)
=3*(2/3)^(n-1)-2*(4/9)^n-1
则前一项为3为首项,2/3为公比的等比数列
后一项为2为首项,4/9为公比的等比数列
分开求:
前一项的和为:
3*(1-(2/3)^n)/(1-2/3)=9*(1-(2/3)^n)
后一项的和为:
2*(1-(4/9)^n)/(1-4/9)=18/5*(1-(4/9)^n)
则an*sn的前n项和tn=
9*(1-(2/3)^n)+18/5*(1-(4/9)^n)
sn=2-2an,s(n-1)=2-2a(n-1),sn-s(n-1)=an=2a(n-1)-2an,所以3an=2a(n-1),为等比数列,公比为2/3. s1=2-2a1,即3a1=2,a1=2/3,所以an=(2/3)的n次方。
楼上好快啊,我刚做完,打算刷新看一下,结果已经做出来了
由条件可以得到 s(n-1)=2-2a(n-1) (n-1是下标)
把这个式子和条件中的式子相减 可得 an=-2an+2a(n-1)
所以3an=2a(n-1) 等比,公比为2/3
第二问 先令条件中的n=1 得出a1=2/3,然后就好办了
第三问 用sn的公式代入计算出sn,然后乘an,不难发现是两个等比数列的差,所以分别求和相减就行。具体自己算算看吧...
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由条件可以得到 s(n-1)=2-2a(n-1) (n-1是下标)
把这个式子和条件中的式子相减 可得 an=-2an+2a(n-1)
所以3an=2a(n-1) 等比,公比为2/3
第二问 先令条件中的n=1 得出a1=2/3,然后就好办了
第三问 用sn的公式代入计算出sn,然后乘an,不难发现是两个等比数列的差,所以分别求和相减就行。具体自己算算看吧。
也许有不太严密的地方,供参考。
收起
Sn+1=2-2an+1=Sn+an+1=2-2an+an+1
an+1/an=2/3
为等比数列
S1=2-2a1=a1 a1=2/3 q=2/3
an=(2/3)^n Sn=2[1-(2/3)^n]
Tn=2(2/3)^n[1-(2/3)^n]
sn=2-2an
a1=2-2a1
a1=2/3
sn+1-sn=an+1=2(an-an+1)
an+1/an=2/3
an是等比数列
公比是2/3
首项是2/3
an=(2/3)^n
tn =2*2/3(1-(2/3)^n)/(1-2/3)-2*4/9(1-(4/9)^n)/(1-4/9)
=4(1-(2/3)^n)-8/5*(1-(4/9)^n)