若p^n中任意一个非零向量都是数域p上n阶矩阵a的特征向量,则a必为数量矩阵.如何证明?

若p^n中任意一个非零向量都是数域p上n阶矩阵a的特征向量,则a必为数量矩阵.如何证明?
若p^n中任意一个非零向量都是数域p上n阶矩阵a的特征向量,则a必为数量矩阵.如何证明?

若p^n中任意一个非零向量都是数域p上n阶矩阵a的特征向量,则a必为数量矩阵.如何证明?
首先,因为属于不同特征值的特征向量的和不是特征向量
所以A的特征值为k,k,...,k (即k是A的n重特征值)
再由n维基本向量组ε1,ε2,...,εn是特征向量
所以 (ε1,ε2,...,εn)^-1A(ε1,ε2,...,εn) = diag(k,...,k)
即有 A = kE 是数量矩阵.