x>0,y>0,x²+y²/2=1,求x根号下（1+y²）的最大值

x>0,y>0,x²+y²/2=1,求x根号下（1+y²）的最大值
x>0,y>0,x²+y²/2=1,求x根号下（1+y²）的最大值

x>0,y>0,x²+y²/2=1,求x根号下（1+y²）的最大值
∵x,y＞0.且
x²+(y²/2)=1
∴2x²+(1+y²)=3
由基本不等式可知
3=(2x²)+(1+y²)≥2√[(2x²)(1+y²)]
=(2√2)x√(1+y²)
∴x√(1+y²)≤(3√2)/4
∴其最大值=(3√2)/4

由 (x^2)+(y^2)/2=1得 y^2=2-2(x^2) x^2€[0,1] 所以 x根号下(1+y^2)=根号下(3x^2-2x^4) 然后将x^2当作一个变量，就是一个一元二次式了。 解得 9/8

x√(1+y²)
=√x²(1+y²)
=√2x²(1+y²) /√2
≤{[2x²+(1+y²)]/2} /√2
=3/(2√2)
=3√2/4 当且仅当2x²=1+y²时，等号成立
所以 x√(1+y²)的最大值为3√2/4