对任意x∈R,不等式(sinx)^2+asinx+a^2-3

对任意x∈R,不等式(sinx)^2+asinx+a^2-3
对任意x∈R,不等式(sinx)^2+asinx+a^2-3<0恒成立,则实数a的取值范围是

对任意x∈R,不等式(sinx)^2+asinx+a^2-3
LZ这题是典型的二次函数的讨论题
一般是先配出二次函数的一般形式：f（sinx）=（sinx+a/2）^2+3a^2/4-3
开口向上的二次曲线
然后就根据对称轴的分布来分情况讨论
由于自变量sinx属于【-1,1】
而若该函数在此区间上的最大值小于0,则恒有上式成立
对对称轴分两种情况：1.-a/2

(sinx)^2+asinx+a^2-3<0，即
(sinx+a/2)^2+3a^2/4-3<0，
当x∈R时， -1<=sinx<=1，
所以a/2-1<=sinx+a/2<=a/2+1。
当a>=0时， (sinx+a/2)^2<=(a/2+1)^2，
不等式恒成立，则：
(a/2+1)^2+3a^2/4-3<0，
a^2+a-2<0，<...

全部展开

(sinx)^2+asinx+a^2-3<0，即
(sinx+a/2)^2+3a^2/4-3<0，
当x∈R时， -1<=sinx<=1，
所以a/2-1<=sinx+a/2<=a/2+1。
当a>=0时， (sinx+a/2)^2<=(a/2+1)^2，
不等式恒成立，则：
(a/2+1)^2+3a^2/4-3<0，
a^2+a-2<0，
解得：-2又a>=0，
所以0<=a<1；
当a<0时，(sinx+a/2)^2<=(a/2-1)^2，
不等式恒成立，则：
(a/2-1)^2+3a^2/4-3<0，
a^2-a-2<0，
解得：-1又a<0，
所以-1综上分析，可得：-1即为所求实数a的取值范围。

收起