Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=BC,D、E为BC上两点,且∠DAE=45° 试说明以BD、DE、EC为三边的三角形是直角三角形
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/04 16:52:30
Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=BC,D、E为BC上两点,且∠DAE=45° 试说明以BD、DE、EC为三边的三角形是直角三角形
Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=BC,D、E为BC上两点,且∠DAE=45° 试说明以BD、DE、EC为三边的三角形是直角三角形
Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=BC,D、E为BC上两点,且∠DAE=45° 试说明以BD、DE、EC为三边的三角形是直角三角形
证明:作CF⊥BC于C 使CF=BD 连AF、EF
,∠BAC=90°,AB=BC ∴∠B=∠BCA=45° ∴∠ACF=45°=∠B
∴△ACF≡△ABD ∴∠CAF=∠BAD AD=AF ∠DAE=45°
∴∠BAD+∠CAE=90-45=45° ∴∠EAC+∠CAF=45°=∠DAE
∴△DAE≡△FAE ∴DE=EF 而△ECF是RT三角形∴BD、DE、EC为三边的三角形是直角三角形
如图所示,作AD=AM,∠CAM=45°,连结MC,ME。 ∵∠CAM=45°,∠DAE=45°(已知) ∴∠DAM=90° 又∵∠BAC=∠DAM=90°(已知) ∴∠BAD=∠CAM 在△ABD,△ACM中: ∵AB=AC,∠BAC=∠DAM,AD=AM ∴△ABD≌△ACM ∴BD=CM(全等三角形对应边相等)∠ABC=∠ACM(全等三角形对应角相等) ∴∠CAM=90°,△MCE为直角三角形 在△ADE,△AEM中: ∵AD=AM,∠DAE=∠EAM,AC=AC ∴△ADE≌△AEM ∴DE=CM (全等三角形对应边相等) ∵ DE=CM ,BD=CM,△MCE为直角三角形(已证) ∴BD、DE、EC为三边的三角形是直角三角形
三角形ACE旋转到三角形ABF,连DF, 三角形ACE全等于三角形ABF 所以BF=EC,∠C=∠FBA=45 可证三角形ADF全等于三角形ADE, 所以DE=DF, 在三角形BDF中,∠FBD=∠C+∠ABD=90, 所以以BD、DE和EC为边可以构成一个直角三角形