在三角形ABC中,点P为三角形内任意一点,连接AP、BP、CP,求证AB+BC+CA>1/2(AP+BP+CP)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/31 09:00:55
在三角形ABC中,点P为三角形内任意一点,连接AP、BP、CP,求证AB+BC+CA>1/2(AP+BP+CP)
在三角形ABC中,点P为三角形内任意一点,连接AP、BP、CP,求证AB+BC+CA>1/2(AP+BP+CP)
在三角形ABC中,点P为三角形内任意一点,连接AP、BP、CP,求证AB+BC+CA>1/2(AP+BP+CP)
看过之后记得赞同哦!
思路:可以直接证明AB+BC+CA>AP+BP+CP.
证明:延长AP,交BC与点D.
在△PBD中 BD+PD>BP①
在△ACD中 AC+CD>AD②
①+②得 BD+PD+AC+CD>BP+AD
(BD+CD)+AC+PD>BP+(AP+PD)
BC+AC+PD>BP+AP+PD
AC+BC>AP+BP③
同理可得 AB+AC>BP+CP④
AB+BC>AP+CP⑤
③+④+⑤得 2AB+2AC+2BC>2AP+2BP+2CP
即 AB+AC+BC>AP+BP+CP
∴AB+BC+CA>1/2(AP+BP+CP)
看过之后记得赞同哦!
因为三角形中两边之和大于第三边,所以
PA+PF>AF (1)
PF+PB>FB (2)
PB+PD>BD (3)
PD+PC>DC (4)
PC+PE>CE (5)
PE+PA>EA (6)
注意到PA+PD=AD,PB+PE=BE,PC+PF=CF 以及 AF+BF=AB,BD+DC=BC,CE+EA=AC
将以上6式相加即知左边...
全部展开
因为三角形中两边之和大于第三边,所以
PA+PF>AF (1)
PF+PB>FB (2)
PB+PD>BD (3)
PD+PC>DC (4)
PC+PE>CE (5)
PE+PA>EA (6)
注意到PA+PD=AD,PB+PE=BE,PC+PF=CF 以及 AF+BF=AB,BD+DC=BC,CE+EA=AC
将以上6式相加即知左边是 2(AD+BE+CF), 右边是 AB+BC+CA.
所以 2(AD+BE+CF)>AB+BC+CA, 因此 AD+BE+CF>1/2(AB+BC+CA).
收起