已知锐角A,B满足(cosA/sinB)+(cosB/sinA)=2,求证A+B=90度

已知锐角A,B满足(cosA/sinB)+(cosB/sinA)=2,求证A+B=90度
已知锐角A,B满足(cosA/sinB)+(cosB/sinA)=2,求证A+B=90度

已知锐角A,B满足(cosA/sinB)+(cosB/sinA)=2,求证A+B=90度
设x=cosA/sinB,则x+1/x=2,化为x^2-2x+1=0,(x-1)^2=0,解得x=1,即cosA/sinB=1,cosB/sinA=1
cosA/sinB=sinA/cosB=1
cosA/sinA=sinB/cosB
cosAcosB=sinAsinB
cosAcosB-sinAsinB=0
cos(A+B)=0
A,B是锐角
A+B=90°

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用反证法吧
1.假如C>90°,则A+B<90°，0°所以0同理由A+B<90°,得0°所以0所以cosA/sinB>1,cosB/sinA>1
所以cosA/sinB+cosB/sinA>2...

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用反证法吧
1.假如C>90°,则A+B<90°，0°所以0同理由A+B<90°,得0°所以0所以cosA/sinB>1,cosB/sinA>1
所以cosA/sinB+cosB/sinA>2,这与已经知cosA/sinB+cosB/sinA=2矛盾,所以C不大于90°.
2).假如C<90°,则A+B>90°,0°<90°-B所以0同理由A+B>90°,得0°<90°-B所以0所以cosA/sinB<1,cosB/sinA<1
所以cosA/sinB+cosB/sinA<2,这与已经知cosA/sinB+cosB/sinA=2矛盾,所以角C不小于90°
△ABC中
SINA>0 SINB>0
所以 COSA/SINB+COSB/SINA=2 去分母,得
SINA*COSA+SINB*COSB=2SINA*SINB
整理得
SINA(COSA-SINB)=SINB(SINA-COSB)
若SINA>COSB 则 COSASINB 则SINA所以SINA=COSB
因为 SINA=COS(90-A)
所以 B=90-A
所以 △ABC=Rt△

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