3、已知a >0,b >0且a +b=1,则( 的最小值为 ( )a的平方的倒数与b平方的倒数之和的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/07 21:39:40

3、已知a >0,b >0且a +b=1,则( 的最小值为 ( )a的平方的倒数与b平方的倒数之和的最小值
3、已知a >0,b >0且a +b=1,则( 的最小值为 ( )
a的平方的倒数与b平方的倒数之和的最小值

3、已知a >0,b >0且a +b=1,则( 的最小值为 ( )a的平方的倒数与b平方的倒数之和的最小值
8

1/a^2+1/b^2
=(a+b)^2/a^2+(a+b)^2/b^2 (用(a+b)^2代替1)
=(a^2+2ab+b^2)/a^2+(a^2+2ab+b^2)/b^2
=1+2(b/a)+(b/a)^2+(a/b)^2+2(a/b)+1
=2+2(a/b+b/a)+[(a/b)^2+(b/a)^2]>=2+2*2√[(a/b)*(b/a)]+2√[(a/b)^2*(b/a)^2]=8
当且仅当a/b=b/a即a=b=1/2时取等
所以1/a^2+1/b^2最小值是8