设XY∈R集合A={(x,y)|x²-y²=1},B={(x,y)|y=t(x+2)+3},若A∩B中只有一个元素,求t值.

设XY∈R集合A={(x,y)|x²-y²=1},B={(x,y)|y=t(x+2)+3},若A∩B中只有一个元素,求t值.
设XY∈R集合A={(x,y)|x²-y²=1},B={(x,y)|y=t(x+2)+3},若A∩B中只有一个元素,求t值.

设XY∈R集合A={(x,y)|x²-y²=1},B={(x,y)|y=t(x+2)+3},若A∩B中只有一个元素,求t值.
A图形是双曲线,B图形是直线,A∩B只有一个元素说明双曲线和直线只有1个交点
直线与双曲线只有1个交点的情况有2种：1、直线与双曲线的渐近线平行.2、直线与双曲线中一根曲线相切.
第1种情况比较简单,双曲线渐近线方程是y=±x,直线与渐近线平行的话只要直线的斜率与渐近线斜率一致就行,也就是t=±1,验算一下此时原直线方程展开后为y=tx+(2t+3)截距2t+3不为0,截距为0的话就是渐近线了,所以t=±1是正解.
第2种情况计算复杂点,直接将直线方程带入双曲线方程,获得的一元二次方程中,b2-4ac=0就可以了,但是直接代进去算略显蛋疼啊……
于是想个替代的办法,设直线y=mx+n与双曲线x2-y2=1仅有一个交点,将直线方程带入双曲方程,整理后得(1-m2)x2-2mnx-(n2+1)=0,其求根公式中当b2-4ac=0时,直线与双曲线只有一个交点,得到n2-m2+1=0.
将原题中直线方程y=tx+(2t+3),那么只要(2t+3)2-t2+1=0,双曲线和直线只有1个交点,也就是A∩B只有一个元素……剩下就不做了,自己算算吧……
以上仅为参考,计算过程可能有误,应该有更简便的方法,求高人指点……

带入y=t(x+2)+3到x²-y²=1,得
x²-(tx+2t+3)²=1 => (1-t²)x²-(4t²+6t)x-4t²-12t-10=0
∵A∩B只有一个元素<=>上式只有唯一根
∴若t=±1时，上式为一次函数，显然只有唯一根
若t≠±1，则上式为二次函数，有唯一根<=>判别式...

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带入y=t(x+2)+3到x²-y²=1,得
x²-(tx+2t+3)²=1 => (1-t²)x²-(4t²+6t)x-4t²-12t-10=0
∵A∩B只有一个元素<=>上式只有唯一根
∴若t=±1时，上式为一次函数，显然只有唯一根
若t≠±1，则上式为二次函数，有唯一根<=>判别式△=0
即(4t²+6t)²+4(1-t²)(4t²+12t+10)=0
=>3t²+12t+10=0 => t=(-6±√3)/3
∴A∩B只有一个元素，则t=±1或(-6±√3)/3

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