已知圆C：（x+2）^2+y^2=4,相互垂直的直线L1和L2过点（-1,0）,求L1L2被圆C所截得弦长之和的最大值,并求此时直线L1的方程.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 19:31:39

已知圆C：（x+2）^2+y^2=4,相互垂直的直线L1和L2过点（-1,0）,求L1L2被圆C所截得弦长之和的最大值,并求此时直线L1的方程.
已知圆C：（x+2）^2+y^2=4,相互垂直的直线L1和L2过点（-1,0）,
求L1L2被圆C所截得弦长之和的最大值,并求此时直线L1的方程.

已知圆C：（x+2）^2+y^2=4,相互垂直的直线L1和L2过点（-1,0）,求L1L2被圆C所截得弦长之和的最大值,并求此时直线L1的方程.
设L1与x轴的夹角为 a,过圆心C（-2,0）分别作L1,L2的垂线,交点分别为A,B,则OA,OB分别平分L1,L2被C所截的弦DE,FG,设M（-1,0）,则|CM|=1
|CA|=|CM|cosa=cosa,|AD|^2=R^2-|CA|^2=4-(cosa)^2,|DE|=2|AD|
同理|BF|^2=R^2-|CB|^2=4-(sina)^2,|FG|=2|BF|
|DE|+|FG|最大即（|DE|+|FG|)^2最大,
记L=（|DE|+|FG|)^2=4（|AD|+|BF|）^2=4(4-cosa^2+4-sina^2+2((4-cosa^2)(4-sina^2))^(1/2))
=4(7+2(16-4cosa^2-4sina^2+sina^2cosa^2)^(1/2))
=4(7+(12+2(sin2a/2)^2)^()1/2)
可见,当地2a=90度,a=45时,L取最大值,为了4(7+2(12+1/4)^(1/2))=56,
则两弦长之和为L^(1/2)=(56)^(1/2)
此时L1：y=-(x+1)
L2:y=x+1
虽然看上去有点乱,但我编辑了好久,因为好多符号不会编辑,所以就采纳了吧……呃呃……

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