已知斜率为1的直线l与双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1相交于B、D两点,且BD的中点M（1,3）,求C的离心率

已知斜率为1的直线l与双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1相交于B、D两点,且BD的中点M（1,3）,求C的离心率
已知斜率为1的直线l与双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1相交于B、D两点,且BD的中点M（1,3）,求C的离心率

已知斜率为1的直线l与双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1相交于B、D两点,且BD的中点M（1,3）,求C的离心率
设直线l的方程为：y=x+m
代入双曲线C中得
x^2/a^2-(x+m)^2/b^2=1
即：(1/a^2-1/b^2)x^2-2m/b^2*x-1-m^2/b^2=0
x1+x2=(2m/b^2)/(1/a^2-1/b^2)=2ma^2/(b^2-a^2)=2
y1+y2=x1+m+x2+m=2+2m=6
即m=2
从而4a^2/(b^2-a^2)=2
3a^2=b^2
e^2=c^2/a^2=(a^2+b^2)/a^2=4
C的离心率：e=2

已知M（1,3）则Y=X+2——（1）
x^2/a^2-y^2/b^2=1——（2）
联立（1）（2），得：(b^2-a^2)X^2-4a^2X-4a^2-a^2b^2=0
根据韦达定理：X1+X2=-b/a=2a^2/(b^2-a^2)=1
所以b^2=3a^2 c^2=a^2+b^2=4a^2 e=根号下c^2/a^2=2

(12 ,-1 )

设直线方程为y=x+n B的坐标为（x1,y1) D(x2,y2) 因为BD在双曲线上 所以满足双曲线的方程x1^2/a^2-y1^2/b^2=1 x2^2/a^2-y2^2/b^2=1 两式相减 得x1^2/a^2-x2^2/a^2-（y1^2/b^2-y2^2/b^2）=0 用平方差公式得（x1-x2)(x1+x2)/a2-（y1-y2)(y1+y2)/b2...

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设直线方程为y=x+n B的坐标为（x1,y1) D(x2,y2) 因为BD在双曲线上 所以满足双曲线的方程x1^2/a^2-y1^2/b^2=1 x2^2/a^2-y2^2/b^2=1 两式相减 得x1^2/a^2-x2^2/a^2-（y1^2/b^2-y2^2/b^2）=0 用平方差公式得（x1-x2)(x1+x2)/a2-（y1-y2)(y1+y2)/b2=0 因为直线斜率为1 所以（x1-x2)不为零 同除以（x1-x2) 得(x1+x2)/a2-（y1-y2)(y1+y2)/（x1-x2)b2=0 （y1-y2)/ （x1-x2)是直线的斜率 为1 代入方程 得 (x1+x2)/a2-（y1+y2）/b2=0 因为BD的重点为M 所以M的坐标为（(x1+x2)/2，,(y1+y2)/2） 所以 x1+x2=2 y1+y2=6 带入方程(x1+x2)/a2-（y1+y2）/b2=0得2/a2-6/b2=0 化简既得b2-3a2=0 因为a2+b2=c2 联立，消去b2 得4a2=c2 e2=c2/a2=4 离心率e=2

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由题刻设L:y=x+2 B(x1,y1)D(x2,y2)M(1,3)
将BD两点代入x^2/a^2-y^2/b^2=1，得
(x1)^2/a^2-(y1)^2/b^2=1 (*)
(x1)^2/a^2-(y1)^2/b^2=1 (#)
点差法：(*)式-(#)式，得
（x1+x2）（x1-x2）/a^2-(y1+y2)(y1-y2)/b^2=0
...

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由题刻设L:y=x+2 B(x1,y1)D(x2,y2)M(1,3)
将BD两点代入x^2/a^2-y^2/b^2=1，得
(x1)^2/a^2-(y1)^2/b^2=1 (*)
(x1)^2/a^2-(y1)^2/b^2=1 (#)
点差法：(*)式-(#)式，得
（x1+x2）（x1-x2）/a^2-(y1+y2)(y1-y2)/b^2=0
式子除(x1-x2),得
（x1+x2）/a^2-(y1+y2)k/b^2=0
k为直线L的斜率，为1所以
（x1+x2）/a^2-(y1+y2)/b^2=0
M为BD中点，所以x1+x2=2 y1+y2=6，代入上式，得
2/a^2-6/b^2=0,化简得：
b^2=3a^2
a^2+b^2=c^2
联立得
c^2=4a^2
所以e2=4
即e^2=2

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